서정고등학교 고2수학과외에서 다룬 매개변수와 주기성 풀이
서정고등학교 고2수학과외에서는 첫 내신 고난도 문제를 풀며 시간 안에 계산을 줄이면서도 서술형에 필요한 논리 근거는 남기는 연습을 진행했다. 특히 주기성을 활용하는 삼각함수 문제와 매개변수에 따라 해의 개수가 달라지는 문제를 연결해 풀이를 비교했다.
한 값을 대입한 뒤 기준을 놓친 오답
학생은 큰 각이 포함된 문제에서 처음부터 삼각함수 값을 모두 계산하지 않고, 한 주기의 범위를 먼저 잡아 같은 위치의 각을 찾으려 했다. 주기성 자체는 이해하고 있어 반복되는 값을 이용해 긴 계산을 줄이는 모습도 나타났다.
하지만 매개변수가 포함된 고난도 문제에서는 매개변수 값을 하나 정해 교점 개수를 계산한 뒤, 그 결과를 전체 경우처럼 판단했다. 매개변수의 위치가 바뀌면 그래프와 직선의 교점 개수도 달라질 수 있는데, 기준이 되는 값과 구간을 먼저 나누지 않은 것이 최초 오류였다.
특정 값에서 성립한 결과를 모든 매개변수에 그대로 확대하지 않고, 교점 개수가 달라지는 기준값부터 확인해야 한다.
현재 학생은 주기성과 반복구간을 알고 있어 기본 문제는 해결할 수 있다. 다만 식이 변형되거나 매개변수가 추가되면 반복구간을 먼저 정하는 습관이 일정하지 않고, 조건별 경우를 나누는 과정에서 계산 결과만 남기고 왜 그 범위가 필요한지는 생략하는 경향이 있다.
조건을 그림과 기호로 함께 정리한 수정 과정
먼저 그래프에서 매개변수에 따라 직선 또는 함수의 위치가 어떻게 달라지는지 표시했다. 교점이 합쳐지거나 사라지는 기준값을 찾은 뒤, 기준값보다 작은 경우와 큰 경우를 나누어 해의 개수를 표로 정리하게 했다. 한 주기의 범위도 별도로 표시해 큰 각을 그대로 계산하지 않고 해당 범위 안의 동치각으로 바꾸도록 했다.
- 한 주기의 범위를 먼저 설정한다.
- 반복되는 값과 그래프의 위치를 식과 그림으로 대조한다.
- 매개변수의 기준값을 찾고 구간별로 교점 개수를 나눈다.
- 서술형 답안에는 계산 과정과 함께 기준값을 선택한 이유를 남긴다.
- 조건의 포함관계는 기호와 그림을 함께 써서 방향을 확인한다.
이후 숫자를 바꾼 문제와 매개변수의 위치를 반대로 바꾼 문제를 제시했다. 학생은 먼저 한 값을 대입하지 않고 기준이 되는 교점과 반복구간을 찾은 다음 경우를 나누었다. 마지막에는 각 구간의 결과를 원래 그래프와 대조해 계산만 맞는지, 조건까지 충족하는지 검산했다.
서정고등학교 고2수학과외에서는 이처럼 풀이 시간을 줄이는 주기성 활용과 서술형에서 생략하면 안 되는 조건 근거를 함께 점검하며, 변형된 문제에서도 같은 판단 순서를 재적용하도록 훈련했다.