향일고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수 풀이의 변화
향일고등학교고1수학과외에서는 문제집 심화 문제로 넘어가기 전에 교과서 예제를 변형한 문제부터 다시 살펴보았다. 이 과정에서 중요한 것은 최종 답만 맞히는 것이 아니라, 어떤 조건을 먼저 나누었고 각 식이 왜 필요한지 답안에 남기는 일이었다.
제외조건을 한꺼번에 처리하며 생긴 오답
한 고1 학생은 선택 조건이 여러 개 붙은 경우의 수 문제에서 전체 경우를 먼저 계산한 뒤, 제외되는 경우를 마지막에 한꺼번에 빼는 방식으로 접근했다. 처음에는 익숙한 풀이순서대로 전체 경우를 구했고, 조건에 맞지 않는 경우를 각각 계산해 차례로 제외했다.
문제는 두 제외조건에 동시에 해당하는 경우가 이미 첫 번째 제외 과정에서 빠졌다는 점이었다. 학생은 이를 확인하지 않고 두 번째 제외조건에서도 다시 빼면서 실제 가능한 경우보다 작은 답을 얻었다. 식의 계산 자체는 이어졌지만, 각 경우가 어느 단계에서 빠졌는지 표시하지 않아 중복 제거 과정에서 정상적인 경우까지 함께 제외했다.
전체 경우를 먼저 계산한 뒤 제외하는 경우에는, 각 제외조건이 담당하는 범위와 서로 겹치는 경우를 분리해 확인해야 한다.
조건을 단계별 선택으로 바꾸는 연습
수정할 때는 전체 경우와 제외 경우를 한 줄에 몰아 쓰지 않고, 선택조건을 단계별로 나누었다. 먼저 첫 번째 선택을 정한 뒤 두 번째 선택이 가능한 범위를 적고, 그 안에서 조건에 맞지 않는 경우를 표시했다. 두 제외조건이 겹치는 경우는 별도로 묶어 한 번만 처리했다.
- 전체 선택 범위를 먼저 적는다.
- 첫 번째 조건을 만족하는 경우와 제외되는 경우를 나눈다.
- 두 번째 조건을 적용할 때 이미 빠진 경우인지 확인한다.
- 각 경우의 수를 합한 뒤 전체 범위와 대조한다.
이렇게 풀이를 바꾸자 ‘왜 이 식을 세웠는가’와 ‘어느 경우가 이미 제외되었는가’를 답안에서 설명할 수 있게 되었다. 교과서 예제, 학교 프린트, 문제집의 숫자와 조건을 바꾼 문제에서도 같은 분류 기준을 적용하는지 확인했다.
현재 가능한 부분과 아직 흔들리는 조건
현재는 원의 중심과 반지름처럼 식에서 필요한 값을 찾아내는 문제는 해결할 수 있다. 경우의 수에서도 선택조건을 단계별로 나누는 방식이 독립적으로 적용되기 시작했다. 그러나 조건이 문제의 뒤쪽에 따로 제시되거나, 처음 익힌 풀이순서와 다른 형태로 나타나면 다시 한 번에 계산하려는 행동이 나타난다.
그래서 풀이 시작 전에 ‘구할 값’, ‘핵심 선택조건’, ‘제외조건’을 따로 적게 했다. 원의 중심과 반지름을 구한 뒤 원래 식에 대입해 확인하는 것처럼, 경우의 수에서도 계산 결과를 원래 조건에 다시 대입해 누락과 중복을 점검하도록 연결했다.
숫자와 조건을 바꾼 재적용
오답을 고친 뒤에는 같은 문제의 답만 다시 쓰지 않았다. 선택 대상의 수와 제외조건을 바꾼 문제를 제시하고, 먼저 전체 경우를 분류하게 했다. 이어 두 조건이 겹치는 상황과 겹치지 않는 상황을 각각 만들어 어느 경우를 한 번만 빼야 하는지 설명하도록 했다.
새 문제에서는 곧바로 숫자를 계산하지 않고 조건표를 먼저 만들었다. 이미 제외된 경우를 다시 빼지 않았는지 확인한 뒤 각 경우를 합산했고, 마지막에는 가능한 경우를 직접 나열해 계산 결과와 대조했다. 향일고등학교 고1 수학과외의 재적용 과정에서도 이 검증 순서를 유지하는지가 핵심 기준이 되었다.