조건이 바뀌어도 검산 기준을 유지하는 율곡고등학교 고2수학과외
율곡고등학교 고2수학과외에서 확인한 핵심은 유리함수 문제를 풀 때 계산 결과만 얻는 것과 그 결과가 조건에 맞는지 검증하는 것은 다르다는 점이었다. 숫자가 익숙한 문제에서는 대입이나 그래프 확인이 가능하지만, 조건이 바뀌면 먼저 문제의 제한조건을 표시하고 가장 짧은 검산법을 선택해야 했다.
계산을 먼저 시작하며 놓친 경계조건
시간을 재고 조건 변경 문제를 풀던 중, 학생은 유리함수의 식을 정리한 뒤 점근선과 교점의 위치를 계산했다. 평소라면 분모가 0이 되는 값을 제외하고 그래프의 이동 방향을 확인했어야 하지만, 풀이 첫 줄에 정의역과 변경된 조건을 적지 않은 채 계산부터 진행했다. 답을 구한 뒤에도 원식에 대입하거나 그래프와 위치를 비교하지 않아 마지막 경계조건 하나가 빠진 채 답을 확정했다.
현재는 숫자가 바뀐 유리함수에서 점근선의 위치를 구하고 대입으로 특정 값을 확인하는 능력은 있다. 다만 답을 얻은 직후 대입, 그래프, 특수값 중 무엇이 가장 확실한 검산인지 스스로 고르는 과정은 아직 자동화되지 않았다. 따라서 계산 자체보다 조건 표시와 검산 선택이 필요한 문제에서 풀이가 흔들렸다.
조건·식·그래프를 한 흐름으로 묶은 수정
이후에는 문제를 읽자마자 분모가 0이 되는 값, 제시된 범위, 새롭게 바뀐 조건을 식 옆에 따로 표시했다. 유리함수의 수직·수평 점근선을 구한 뒤에는 모든 풀이에 같은 검산을 적용하지 않고 문제에 맞춰 방법을 정했다. 특정 x값의 함수값을 묻는 경우에는 원식에 다시 대입하고, 그래프의 위치나 이동을 판단하는 경우에는 점근선과 기준점을 비교했다. 계산이 간단한 문제에서는 특수값을 넣어 부호와 위치를 확인했다.
검산할 때는 단순히 답이 같다고 표시하지 않고, “이 값은 분모를 0으로 만들지 않는가”, “변경된 범위 안에 포함되는가”, “그래프의 어느 쪽에 놓이는가”를 차례로 말하게 했다. 조건을 바꾼 뒤에는 원래 답을 그대로 옮기지 않고 새 조건에서 제외되거나 추가되는 값을 다시 판별했다.
로그 정의조건까지 기호로 확인하기
로그의 정의조건을 다룰 때에도 말로만 “진수는 양수”라고 정리하지 않고 원소 포함관계를 그림과 기호로 함께 적었다. 예를 들어 해집합을 구한 뒤에는 후보값 전체를 표시하고, 진수조건을 만족하는 값만 해집합에 포함된다는 방향을 해집합 ⊂ 조건을 만족하는 값의 집합처럼 확인했다. 이 과정을 통해 조건을 만족하는 집합과 최종 해집합의 관계를 뒤집어 쓰는 오류를 줄였다.
다음 날에는 숫자와 점근선의 위치를 바꾼 유리함수 문제를 표시 없이 다시 풀고, 마지막에 조건 표시와 검산을 빠뜨렸는지 점검했다. 이어 로그의 진수식을 바꾼 문제에서는 후보해를 구한 뒤 정의조건을 그림과 기호로 나타내고, 각 값을 원식에 대입해 남는 해를 확인했다. 율곡고등학교 고2수학과외에서는 이렇게 문제마다 조건을 먼저 고정한 뒤 식과 그래프를 대조하는 행동을 반복해, 시간 제한 속에서도 익숙한 공식보다 현재 조건을 우선하도록 훈련했다.