유신고등학교 고2수학과외에서 다룬 복합조건 검산 훈련
문제집 심화 문제를 풀 때 계산식이 길어지면 먼저 여러 공식을 적어 두고 가능한 방법을 고르는 방식으로 접근했다. 그러나 매개변수와 대칭 조건이 함께 주어진 문제에서는 공식보다 조건 사이의 연결을 먼저 정리해야 풀이 방향이 결정된다. 유신고등학교 고2수학과외에서는 이 순서를 바꾸는 훈련에 초점을 맞췄다.
계산 결과보다 먼저 확인해야 할 조건
예를 들어 그래프가 원점대칭 관계를 이루고 어떤 각에서의 함수값이 주어진 문제에서는 새로운 각의 값을 무작정 계산하지 않고, 대칭 관계로 기존 값을 어떻게 연결할 수 있는지 먼저 확인해야 한다. 매개변수의 범위까지 제시되었다면 다음 순서로 조건을 나누어 적는다.
- 대칭축 또는 원점대칭 여부 확인
- 주어진 값과 구하려는 값의 대응 관계 설정
- 매개변수가 만드는 허용 범위 확인
- 계산 후 특수값이나 그래프와 대조
이 학생은 내신 고난도 문제를 끝까지 풀 수 있고 기본 공식도 알고 있다. 다만 계산량이 많아 보이면 조건의 우선순위를 정하기 전에 공식 후보를 여러 개 적는 경향이 있었다. 특히 대칭으로 새로운 각의 값을 기존 값과 연결해야 하는 단계와 복합조건을 먼저 적용해야 하는 단계가 자동으로 이어지지 않았다.
교점이 없는 답을 그대로 확정한 장면
문제집 심화 문제에서는 먼저 매개변수 식을 변형하고 여러 항을 계산한 뒤 답을 얻었다. 이후 그래프에 대입해 보니 해당 값에서는 두 그래프의 교점이 생기지 않았지만, 계산 과정에 뚜렷한 오류가 보이지 않는다는 이유로 답을 확정했다. 최초 오류는 계산 중간이 아니라, 대칭 조건을 이용해 가능한 값의 범위를 줄이지 않고 공식 선택부터 시작한 시점이었다.
따라서 같은 유형을 다시 풀 때는 답을 구한 뒤 무조건 세 가지 검산을 모두 하는 것이 아니라 문제에 가장 짧은 방법을 선택하도록 했다. 식에 직접 대입할 수 있으면 원식 검산을 하고, 역으로 값의 범위를 확인하는 편이 빠르면 역산을 사용한다. 그래프 조건이 핵심이면 좌표를 표시해 교점의 존재 여부와 대칭 관계를 확인한다. 특히 특수값을 넣었을 때 조건이 성립하는지 살펴보면 계산 결과가 가능한 범위를 벗어났는지 빠르게 판단할 수 있다.
조건을 바꾼 문제에 재적용하기
수정 후에는 원래 문제의 숫자만 바꾸지 않고 대칭 조건과 매개변수 범위를 각각 바꾼 변형 문제를 제시했다. 먼저 대칭 관계로 대응하는 각을 정한 다음, 매개변수 조건을 적용해 가능한 경우를 분류했다. 그 뒤 계산한 값을 그래프의 위치와 비교하고, 필요할 때만 원식에 다시 대입했다.
새 문제에서는 공식 후보를 여러 개 나열하지 않고 핵심조건과 보조조건을 구분했다. 대칭 조건으로 값을 연결할 수 있는 경우에는 긴 계산을 생략했고, 답을 얻은 뒤에는 그래프상 교점이 실제로 존재하는지 먼저 확인했다. 검산 결과가 맞지 않으면 계산실수로 단정하지 않고 어느 조건을 처음 적용하지 않았는지 되짚는 방식으로 풀이를 수정했다.
유신고등학교고2수학과외에서는 이런 과정을 통해 복합문제에서 계산 속도보다 개념 연결순서와 검산법 선택이 먼저 작동하도록 반복하고 있다.