광휘고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수 풀이 순서
광휘고등학교 고1 수학과외에서는 최종 숫자만 맞히는 것보다 조건을 어떤 순서로 해석하고, 각 식이 무엇을 세는지 설명하는 풀이를 중심으로 정리했다. 특히 필요·충분조건이 함께 제시된 선택 문제에서는 전체 경우와 제외할 경우를 분리하지 않으면 같은 경우를 두 번 빼거나 정상적인 경우까지 없애기 쉽다.
제외조건을 한꺼번에 처리하며 생긴 오류
학교자료의 선택 문제에서 세 가지 이상의 조건이 제시되자, 이 학생은 가능한 전체 경우를 먼저 계산한 뒤 마지막에 제외조건을 한꺼번에 빼는 방식으로 풀었다. 예를 들어 전체 선택 경우에서 조건 A에 해당하는 경우를 빼고, 조건 B에 해당하는 경우도 빼면서 A와 B가 동시에 성립하는 경우를 이미 처리했다는 표시를 남기지 않았다.
그 결과 A와 B가 겹치는 경우를 다시 제외해 실제보다 작은 답을 만들었다. 반대로 정상적인 경우까지 제외된 장면도 있었다. 풀이 과정에는 숫자 계산은 남아 있었지만, ‘이 식이 어떤 경우를 세는가’와 ‘앞에서 이미 제외한 경우인가’를 확인하는 문장이 없었다.
전체 경우 → 조건 A에 해당하는 경우 → 조건 B에 해당하는 경우 → 두 조건이 겹치는 경우
이 순서가 구분되지 않은 것이 최초 오류였다. 조건을 읽은 직후 숫자부터 계산했고, 선택조건을 단계별로 나누어 세는 과정이 뒤로 밀리면서 중복과 누락을 동시에 확인하지 못했다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
교과서 예제처럼 선택 조건을 한 단계씩 적용하는 문제에서는 경우를 나누어 셀 수 있다. 먼저 전체 선택 대상을 정하고, 첫 번째 조건을 적용한 뒤 남은 대상에 두 번째 조건을 적용하는 식으로 풀이 흐름도 설명할 수 있다.
다만 제외조건이 추가되면 이미 센 경우와 아직 세지 않은 경우를 구분하는 데 흔들림이 남아 있다. 필요조건만 만족하는 경우와 필요·충분조건을 모두 만족하는 경우를 같은 범주로 처리하기도 하므로, 답을 구한 뒤 조건별로 해당 경우를 다시 대조하는 과정이 필요하다.
전체 경우와 제외 경우를 분리한 수정
먼저 문제에서 구할 값을 한 문장으로 적고, 선택 대상과 조건을 표기했다. 그 다음 전체 경우를 계산한 식 아래에 조건 A, 조건 B, A와 B가 동시에 성립하는 경우를 각각 따로 적었다. 제외 방식으로 풀 때는 다음처럼 겹치는 부분을 표시하게 했다.
- 전체 경우를 먼저 계산한다.
- 조건 A에 해당하는 경우를 표시한다.
- 조건 B에 해당하는 경우를 표시한다.
- A와 B에 동시에 해당하는 경우가 있는지 확인한다.
- 같은 경우를 두 번 빼지 않도록 교집합을 한 번 되돌려 계산한다.
각 식을 세운 뒤에는 “이 식은 조건 A만 만족하는 경우인가, B와 겹치는 경우까지 포함하는가”를 말로 설명하게 했다. 이미 제외한 경우에는 표시를 남기고, 마지막 답에서는 정상적인 경우가 빠지지 않았는지 원래 조건에 다시 대입했다.
숫자와 조건을 바꾼 재적용
이틀 뒤에는 표시와 풀이 흔적을 보지 않고 같은 조건 해석을 빈 종이에 다시 작성하게 했다. 이후 선택 대상의 수를 바꾸고, 제외조건 하나를 추가한 변형 문제를 제시했다. 이 학생은 먼저 전체 경우를 적은 뒤 조건별 경우를 나누고, 두 제외조건의 겹침을 별도로 확인했다.
마지막 검산에서는 계산된 답에 포함된 한 경우를 골라 모든 조건을 대입하고, 제외되어야 할 경우가 답에 남아 있지 않은지도 확인했다. 숫자가 달라진 문제에서도 ‘이미 뺀 경우를 다시 빼지 않는다’는 기준을 유지하면서, 최종 답뿐 아니라 중간 조건과 식의 근거가 드러나는 풀이로 바뀌었다.
광휘고등학교 고1수학과외에서는 이러한 풀이 순서가 학교자료 재풀이에서도 유지되는지 확인하며, 조건이 세 개 이상인 경우의 수 문제를 단계별 해석과 검산까지 연결했다.