입력과 출력의 관계부터 확인하는 함수 서술형 풀이
신흥고등학교고1수학과외에서 확인한 핵심 과제는 함수식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 입력과 출력이 어떻게 대응하는지 설명하는 것이다. 현재 이 학생은 함수값을 구하는 계산 자체는 가능하지만, 서술형에서 여러 조건을 분류하고 관계를 판단하는 과정에서는 아직 흔들림이 나타난다.
계산은 맞았지만 함수 판단에서 생긴 오류
다음 날 무표시 재풀이에서 학생은 문제를 보자마자 함수식에 입력값을 대입해 출력값을 계산했다. 계산 결과는 맞았지만, 문제에 제시된 대응 관계에서 같은 입력에 서로 다른 출력이 연결된 상황을 함수라고 판단했다. 식을 계산하는 과정은 진행했으나, ‘하나의 입력에 출력이 몇 개 대응하는가’를 먼저 확인하지 않은 것이 최초 오류였다.
이때 오류를 단순한 계산실수로 정리하면 수정 지점을 놓치게 된다. 입력값을 x, 출력값을 y로 구분하고, 각 입력에 연결된 출력을 표로 옮겨야 했다. 예를 들어 입력 2에 출력 3과 5가 함께 연결되어 있다면 계산 결과와 관계없이 함수 조건에 맞는지 먼저 판단해야 한다. 반대로 입력 하나에 출력 하나만 대응하고, 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는 경우에는 함수가 될 수 있다는 점도 함께 구분해야 한다.
함수 문제에서는 식을 계산하기 전에 하나의 입력이 하나의 출력에 대응하는지 확인한다.
표로 바꾸어 최초 판단 지점 찾기
수정 과정에서는 기존 오답을 다시 계산하지 않고, 입력과 출력을 두 열로 나누어 표를 만들었다. 그다음 각 입력값을 왼쪽 열에서 확인하고, 오른쪽에 연결된 출력의 개수를 세었다. 이 과정을 통해 학생은 함수식의 값이 맞는지와 함수 관계가 성립하는지는 서로 다른 판단이라는 점을 구분했다.
- 문제에서 주어진 입력과 출력을 분리한다.
- 각 입력에 연결된 출력의 개수를 표로 확인한다.
- 하나의 입력에 출력이 둘 이상이면 함수 조건에 맞지 않는지 판단한다.
- 그 뒤 함수식 계산과 문제의 조건을 연결한다.
또한 서술형에서는 결론만 적지 않고 “각 입력에 하나의 출력만 대응하므로 함수이다” 또는 “한 입력에 두 출력이 대응하므로 함수가 아니다”처럼 판단 근거를 문장으로 쓰게 했다. 이렇게 하면 경우를 분류하지 않은 채 계산 결과만 제시하는 풀이를 줄일 수 있다.
학교 프린트에 적용한 변화
이후 숫자와 대응 관계를 바꾼 학교 프린트 문제에서는 식을 먼저 계산하지 않고, 입력·출력 표를 만든 뒤 함수 여부를 판단하는 행동이 나타났다. 같은 출력이 반복되는 경우와 같은 입력에서 출력이 갈라지는 경우를 구별하고, 마지막에 필요한 함수값을 계산했다.
신흥고등학교 고1수학과외에서 보는 현재 기준은 함수값을 구할 수 있는가에만 있지 않다. 새로운 문제에서도 입력과 출력의 대응관계를 먼저 설명하고, 경우를 분류한 뒤 식을 세우는지가 중요하다. 다음 문제에서는 조건을 하나 바꾸어도 표 작성, 함수 판단, 계산, 서술형 근거 제시의 순서를 유지하는지 확인한다.