신성고등학교 고1수학과외에서 다룬 행렬 곱셈의 오류 추적
안양동과 연결해 학습 내용을 점검한 한 고1 학생은 행렬의 기본적인 덧셈과 뺄셈, 같은 위치의 원소를 계산하는 문제는 처리할 수 있었다. 그러나 교과서 예제를 바꾼 행렬 곱셈에서는 숫자를 보이는 순서대로 계산하면서 행과 열의 대응 관계를 확인하지 않았다. 문제의 형식이 달라지면 짧은 풀이를 선택하기보다 계산을 먼저 시작하는 습관이 긴 풀이의 최초 오류를 찾기 어렵게 만들었다.
같은 위치의 원소를 곱해 생긴 첫 오류
예를 들어
A= \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\), B= \(\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\)
의 곱을 구할 때, 학생은 왼쪽 위 원소를 1×2로 계산한 뒤 오른쪽 아래 원소를 4×3으로 계산하는 방식으로 진행했다. 행렬의 숫자를 차례로 대응시키면서 같은 위치의 원소끼리 곱하면 된다고 판단한 것이다. 그 결과 행렬곱의 각 원소가 두 수의 곱만으로 구성되었고, 실제로 필요한 ‘행의 원소와 열의 원소를 곱해 더하는 과정’이 빠졌다.
오류는 계산 중간이 아니라 첫 번째 원소를 설정하는 순간 발생했다. A의 첫째 행 \( (1,2) \)와 B의 첫째 열 \( (2,1) \)을 대응시켜 \(1×2+2×1=4\)를 만들어야 했지만, \(1×2\)만 계산하면서 이후 결과 전체가 잘못된 방향으로 이어졌다. 긴 풀이 끝의 숫자만 비교하면 단순 계산 오류처럼 보이지만, 실제 최초 오류는 행과 열의 위치를 표시하지 않은 데 있었다.
표와 식을 연결해 풀이 순서 바꾸기
신성고등학교고1수학과외에서는 행렬을 단순한 숫자표로 보지 않도록 먼저 결과 행렬의 각 칸이 어느 행과 열에서 만들어지는지 표시하게 했다. \(AB\)의 왼쪽 위 원소에는 A의 1행과 B의 1열, 오른쪽 위 원소에는 A의 1행과 B의 2열이 들어간다는 것을 표로 확인했다.
- 결과 행렬의 크기를 먼저 확인한다.
- 구할 칸을 표시하고 왼쪽 행과 오른쪽 열을 연결한다.
- 대응하는 원소를 곱한 뒤 더한다.
- 다음 칸으로 이동하기 전에 행과 열의 번호를 다시 확인한다.
- 완성된 결과를 한 칸씩 원래 식에 대입해 검산한다.
이 과정에서 학생은 \(AB\)와 \(BA\)의 결과가 일반적으로 다를 수 있다는 점도 함께 확인했다. 숫자의 배열만 보고 계산하면 두 식을 같은 방식으로 처리하기 쉽지만, \(AB\)는 A의 행과 B의 열을 연결하고 \(BA\)는 B의 행과 A의 열을 연결한다. 따라서 순서를 바꾸는 순간 대응표도 다시 작성해야 한다.
조건이 바뀐 문제에서 풀이를 재설계한 과정
처음에는 두 행렬의 곱만 구하게 했지만, 다음 문제에서는 \(X A=B\)에서 미지행렬 \(X\)를 찾도록 조건을 바꾸었다. 학생은 앞서 계산한 \(AB\)의 순서를 그대로 적용하려 했으나, \(X\)가 왼쪽에 있다는 점을 확인한 뒤 행렬의 곱셈 순서를 다시 정리했다. 역행렬을 사용할 수 있는지 먼저 확인하고, 가능한 경우 \(X=BA^{-1}\)로 식을 세운 다음 \(A^{-1}\)을 구해 원래 식에 재대입했다.
또 다른 변형에서는 행렬의 원소가 부등식 조건을 만족해야 했다. 학생은 행렬 계산만 끝내고 \(x\)의 범위를 바로 적으려 했지만, 부호가 바뀌는 지점과 경계값을 따로 표시하게 하자 수직선에 범위를 나타낸 뒤 원래 부등식에 대입해 확인했다. 복소수 계산에서도 마지막에 조건과 범위를 확인하는 절차를 생략하지 않도록, 식 옆에 ‘조건 확인’ 표시를 남기게 했다.
계산을 빨리 끝내는 것보다 어느 행과 어느 열을 연결했는지 남기는 것이 행렬 풀이의 시작이다.
이후 교과서와 학교 프린트의 기본 문제에서는 각 칸의 대응을 먼저 표시했고, 문제집의 숫자와 배열을 바꾼 문제에서도 같은 원리를 적용했다. 숫자가 달라져도 결과 행렬의 크기, 행·열 대응, 곱셈과 덧셈의 순서를 먼저 확인한 뒤 계산했으며, 틀린 경우에는 답부터 고치지 않고 최초로 잘못 연결한 칸을 표시했다. 이처럼 신성고등학교 고1수학과외 학습에서는 행렬의 기본 연산을 넘어 표의 구조를 식으로 옮기고, 조건이 달라진 새 문제에서도 풀이 순서를 다시 설계하는 연습을 진행했다.