솔터고등학교 고1 수학, 경우를 빠짐없이 나누는 풀이
솔터고등학교고1수학과외에서 중점적으로 다루는 방향은 교과서 예제를 외우는 대신, 숫자와 질문이 달라진 내신 변형 문제에 원리를 다시 적용하는 것이다. 특히 그래프와 식이 함께 제시된 문항에서는 계산보다 먼저 조건을 해석하고, 가능한 경우를 겹치지 않게 분류하는 과정이 중요하다.
떠오르는 대로 센 풀이에서 생긴 오류
현재 한 고1 학생은 간단한 경우의 수는 셀 수 있지만 조건이 여러 개 겹치면 중복과 누락을 동시에 관리하는 데 흔들림이 있다. 그래프와 식이 함께 나온 문제에서 학생은 그래프의 모양과 식의 조건을 확인한 뒤 기준을 세우지 않고, 떠오르는 배열부터 순서대로 적었다.
그 결과 같은 배열을 다른 순서로 다시 적어 두 번 세었고, 조건을 만족하는 한 가지 배열은 목록에서 빠졌다. 식의 계산 자체는 이어졌지만 최종 경우의 수가 실제 가능한 범위와 맞지 않았다. 문제의 조건을 읽고도 ‘무엇을 기준으로 나눌 것인지’를 먼저 정하지 않은 것이 최초 오류였다.
가능한 경우를 떠오르는 순서로 적기 전에, 서로 겹치지 않는 기준을 하나 정하고 모든 경우가 그 기준 안에 들어가는지 확인한다.
표와 가지 구조로 풀이 기준 다시 세우기
오답을 고칠 때는 정답을 먼저 보여주지 않는다. 먼저 그래프에서 확인해야 할 조건과 식에서 확인해야 할 조건을 각각 구할 값과 함께 분리한다. 그다음 첫 번째 기준을 정해 표나 가지 구조로 경우를 나눈다. 예를 들어 특정 조건을 만족하는 경우와 만족하지 않는 경우를 먼저 나누고, 각 가지 안에서 두 번째 조건을 적용한다.
- 문제에서 구할 값과 주어진 조건을 따로 적기
- 경우를 나누는 첫 번째 기준 정하기
- 각 가지 안에서만 다음 조건 적용하기
- 이미 센 배열에는 체크 표시하기
- 전체 경우가 빠짐없이 포함됐는지 마지막 범위 검산하기
표의 각 칸에 배열을 직접 기록하게 하면 같은 배열을 다른 경로로 다시 세는 장면을 확인할 수 있다. 가지 구조를 완성한 뒤에는 각 가지의 개수를 더하고, 원래 조건에 맞지 않는 배열이 포함되지 않았는지도 식과 그래프에 대조한다.
숫자와 조건을 바꾼 문제에 재적용하기
다음 날에는 풀이 표시가 없는 상태에서 같은 유형을 다시 풀게 한다. 이후 숫자와 조건을 바꾼 문제를 제시해도 먼저 기준을 세우는지 확인한다. 예를 들어 그래프의 조건을 바꾸거나 배열에 들어갈 수의 개수를 늘렸을 때, 이전 답을 떠올려 적지 않고 새로운 표를 만든 뒤 각 경우에 체크하도록 한다.
시험 후반을 가정한 재검산에서는 전체 가지 수와 실제 적은 목록의 수를 비교하고, 중복된 배열과 누락된 배열을 역으로 찾게 한다. 솔터고등학교 고1수학과외에서는 이 과정을 통해 그래프와 식이 함께 나온 문항에서도 계산부터 시작하지 않고 조건 해석, 기준 설정, 경우 분류, 검산의 순서를 유지하는지 확인한다.