대부고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수 오류
대부고등학교 고1수학과외에서는 교과서 예제의 풀이 순서를 외우기보다 숫자와 질문이 달라졌을 때 어떤 개념을 선택해야 하는지 확인했다. 특히 경우의 수 문제에서 떠오르는 대로 배열을 적는 습관이 중복과 누락으로 이어지는 과정을 먼저 분석했다.
같은 배열을 두 번 센 최초 오류
교과서 예제를 변형한 문제에서 한 학생은 조건을 읽은 뒤 가능한 경우를 생각나는 순서대로 나열했다. 예를 들어 세 자리 배열을 적으면서 ABC와 ACB를 구분해 적기는 했지만, 다음 단계에서 이미 적은 배열을 다시 다른 순서로 기록했다. 그 결과 같은 경우를 두 번 세었고, 반대로 조건을 만족하는 배열 하나는 목록에서 빠졌다.
풀이에는 숫자를 더하고 곱한 흔적은 있었지만, 각 경우가 어떤 기준으로 나뉘었는지 설명하지 못했다. 간단한 문제에서는 직접 세어 답을 구할 수 있으나, 조건이 하나 더 붙거나 선택 대상이 늘어나면 중복과 누락을 동시에 통제하기 어렵다는 현재 상태가 드러났다.
겹치지 않는 기준으로 경우를 분류하기
수정할 때 먼저 문제의 조건과 구할 값을 분리했다. 이후 첫 번째 자리에 어떤 수가 오는지, 특정 수가 포함되는지처럼 서로 겹치지 않는 기준을 정하고 가지 구조를 그렸다. 한 가지를 선택한 뒤 남은 선택지를 이어 적고, 각 끝점에 해당하는 배열을 표시했다.
- 첫 번째 기준을 하나로 고정한다.
- 각 가지에서 같은 배열이 다시 나오지 않는지 확인한다.
- 모든 조건을 만족하는 끝점에 체크한다.
- 전체 가지 수와 실제 목록의 개수를 비교한다.
이미 센 배열에는 표시를 남겨 중복을 눈으로 확인하고, 문제의 조건을 만족하는데 표시되지 않은 경우가 없는지 역으로 점검했다. 단순히 정답을 고치는 대신, 왜 첫 식이나 분류 기준이 필요한지 말한 뒤 계산하도록 했다.
함수 적용 순서도 식과 함께 확인
교과서 예제를 바꾼 함수 문제에서는 두 함수가 연결될 때 안쪽과 바깥쪽 적용 순서를 혼동하지 않도록 화살표를 그렸다. 먼저 입력값에 적용되는 함수를 안쪽에 두고, 그 결과에 적용되는 함수를 바깥쪽에 두었다. f(g(x))를 계산할 때도 g(x)를 먼저 구한 뒤 그 결과 전체를 f에 대입했으며, 괄호를 생략하지 않았다.
반례 검증에서는 f(g(x))와 g(f(x))에 같은 값을 넣어 결과를 비교했다. 두 식이 일반적으로 같다고 가정하지 않고 x=1, x=2처럼 간단한 값을 대입해 연결 순서가 바뀌면 결과도 달라질 수 있음을 확인했다.
숫자와 조건을 바꾼 재적용
다음 날에는 원래 문제를 보지 않고 빈 종이에 먼저 분류 기준을 적었다. 이후 숫자만 바꾼 경우의 수 문제, 특정 조건을 추가한 문제, 조건의 순서를 바꾼 문제를 차례로 제시했다. 이전처럼 떠오르는 배열부터 적지 않고 첫 기준을 정한 뒤 표와 가지 구조를 만들었으며, 마지막에는 중복·누락 여부를 다시 확인했다.
교과서, 학교 프린트, 문제집의 표현이 달라도 같은 개념인지 판별하는 과정도 함께 점검했다. 경우가 많아진 문제에서는 계산을 서두르기보다 미지의 선택을 단계별로 나누고, 각 단계의 수를 곱하거나 합한 이유를 설명했다. 함수 문제에서는 안쪽 함수의 결과를 중간식으로 남긴 뒤 바깥 함수에 대입했다.
이제 간단한 경우는 직접 셀 수 있고, 새 문제에서도 분류표를 먼저 만들려는 행동이 나타난다. 다만 조건이 여러 개 겹치면 기준을 세우는 단계가 아직 흔들리므로, 숫자와 조건을 바꾼 문제에서 같은 풀이 기준을 유지하는지 계속 확인하고 있다.