곡정고등학교 고1수학과외에서 다룬 합성함수 풀이의 최초 오류
곡정고등학교고1수학과외에서는 합성함수 문제를 맞히는 것뿐 아니라, 왜 그 순서로 식을 세웠는지 설명하는 과정을 함께 확인했다. 현재 이 학생은 기본적인 합성함수의 계산은 가능하지만, 식이 길어지거나 조건이 여러 개 붙으면 안쪽 함수와 바깥쪽 함수의 역할을 바꾸는 경향이 있다.
보이는 식부터 계산하며 생긴 오답
예를 들어 f(x)=2x+1, g(x)=x^2-3일 때 (f∘g)(2)를 구하는 문제에서 먼저 눈에 들어온 f의 식에 2를 대입했다. 이후 나온 값을 다시 g에 넣어 g(f(2))의 형태로 계산했고, 두 함수의 식 자체는 정확히 사용했지만 최종값은 문제에서 요구한 값과 달라졌다.
오류는 계산 중간이 아니라 함수 적용 순서를 읽는 최초 지점에서 발생했다. (f∘g)(2)는 오른쪽의 g가 먼저 적용되어야 하므로 다음처럼 흘러가야 한다.
2 → g(2) → f(g(2))
그런데 실제 풀이에서는 2 → f(2) → g(f(2))로 진행되었다. 즉, 식을 계산하는 능력은 있었지만 안쪽 함수의 출력이 바깥쪽 함수의 입력이 된다는 구조를 식이 복잡해질수록 놓쳤다.
조건이 있는 문제에서 순서를 구별하는 연습
첫 내신 변형문제에서는 합성함수 계산과 함께 여러 조건을 조합해야 했다. 이 학생은 ‘순서를 고려해야 하는 조건’과 ‘순서가 바뀌어도 같은 조건’을 먼저 나누지 않고 익숙한 계산부터 시작했다. 그 결과 합성 순서뿐 아니라 경우를 세는 과정에서도 중복되는 경우와 서로 다른 경우를 구분하지 못했다.
따라서 문제를 읽을 때 먼저 구할 값을 네모로 표시하고, 주어진 조건을 핵심조건과 보조조건으로 나누도록 했다. 합성함수라면 (f∘g)(x)에서 오른쪽 함수 g를 안쪽 함수로 표시하고, 화살표를 이용해 입력과 출력을 연결했다. 조합적 조건이 함께 나오면 ‘순서를 바꾸었을 때 다른 결과가 되는가’를 먼저 질문한 뒤 식을 세우게 했다.
(f∘g)(x)는x → g(x) → f(g(x))로 표시한다.- 안쪽 함수의 출력은 바깥쪽 함수의 입력이 된다.
- 순서를 고려하는 조건과 고려하지 않는 조건을 먼저 구별한다.
- 계산 후에는 원래 합성식과 결과를 다시 대조한다.
숫자를 바꾼 문제에 다시 적용한 과정
오답을 고친 뒤에는 같은 문제의 답만 다시 쓰지 않고 함수와 입력값을 바꾸었다. f(x)=3x-2, g(x)=x+4에서 (f∘g)(-1)을 구하게 하자 먼저 -1 → g(-1)=3을 적고, 그 결과를 f(3)에 대입했다. 이후 (g∘f)(-1)을 함께 제시해 두 값이 일반적으로 같지 않다는 점도 확인했다.
추가로 조건을 바꾼 문제에서는 두 함수의 적용 순서를 화살표로 표시한 뒤, 순서를 바꾸어도 결과가 같은지 직접 비교하게 했다. 답을 맞힌 뒤에는 “왜 g가 먼저인가?”와 “이 조건에서 순서를 바꾸면 같은 경우인가?”를 문장으로 설명하게 했다. 이렇게 해야 우연히 얻은 정답과 구조를 이해한 풀이를 구분할 수 있다.
현재는 단순한 합성함수에서는 순서를 표시하며 안정적으로 계산한다. 다만 식이 길어지거나 조합적 조건이 함께 제시되면 익숙한 식부터 대입하려는 습관이 다시 나타날 수 있다. 그래서 시간 제한 풀이에서도 처음 10초 동안 구할 값, 안쪽 함수, 순서 조건을 표시한 뒤 계산하도록 훈련하고 있다. 곡정고등학교 고1수학과외에서는 이 과정을 통해 정답뿐 아니라 풀이 선택의 근거까지 확인하는 방향으로 이어 간다.