여주시대신고등학교 고2수학과외에서 확인한 합성함수와 역함수의 조건 관리
여주시대신고등학교 고2수학과외에서는 합성함수의 계산 결과만 맞히는 데서 멈추지 않고, 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력으로 연결되는 순서를 먼저 확인하도록 지도했다. 기본적인 합성함수는 계산할 수 있었지만 식이 길어지면 눈에 먼저 들어오는 바깥 식부터 처리해 실제 적용 순서를 거꾸로 진행하는 경우가 있었다.
예를 들어 (f∘g)(x)를 보면 먼저 f의 식에 집중해 계산을 시작했다. 그러나 실제로는 x가 먼저 g를 거쳐 g(x)가 되고, 그 출력값이 다시 f의 입력이 된다. 풀이 첫 줄에 x → g(x) → f(g(x))를 표시하게 하자 안쪽 함수와 바깥 함수의 역할을 구분할 수 있었다. 이후 식 안에 분수나 제곱근이 포함된 문제에서는 각 단계의 입력 가능 범위도 함께 적었다.
역함수 문제에서 발생한 최초 오류
오답이 가장 분명하게 드러난 것은 첫 내신 고난도 문제였다. 학생은 역함수 식을 만드는 과정에서 y=f(x)의 양변을 정리하고 x와 y를 바꾸는 절차는 수행했다. 하지만 원래 함수가 일대일 대응이 되는지, 역함수가 정의되는 구간이 어디인지 확인하지 않았다.
그 결과 실제로는 정의역을 제한해야 역함수가 성립하는 식을 전체 구간에 적용했고, 역함수가 존재하지 않는 구간까지 답에 포함했다. 이는 단순한 계산 오류가 아니라 방정식의 해를 구한 뒤 그 해가 원래 조건에서 성립하는지 점검하지 않은 문제였다. 합성함수에서도 바깥 식부터 익숙한 방식으로 처리했던 습관이 역함수의 정의역과 치역을 확인하지 않는 행동으로 이어졌다.
식을 만들었다는 것과 함수로서 역함수가 성립한다는 것은 같은 결론이 아니다.
정의역과 치역을 표로 관리하는 수정 과정
이후에는 역함수 식을 바로 완성하지 않고 다음 순서로 풀이하게 했다.
- 원래 함수의 정의역과 치역을 먼저 적는다.
- 함수가 일대일 대응인지 그래프 또는 식의 변화로 확인한다.
- 필요한 경우 정의역을 제한하고, 그 제한이 역함수의 치역으로 어떻게 바뀌는지 표로 정리한다.
- 역함수 식을 만든 뒤 원래 식에 다시 대입한다.
- 구한 해와 함수의 정의역·치역 조건이 모두 일치하는지 확인한다.
예전에는 정답을 고친 뒤 같은 문제를 반복하는 데 그쳤지만, 이번에는 숫자와 조건을 바꾼 문제를 다시 제시했다. 정의역의 끝점을 바꾸거나 제곱근 안의 식을 바꿔도 먼저 일대일 대응과 정의역·치역을 확인하는지 살폈다. 또한 합성함수 문제의 질문을 역함수의 존재 여부로 바꾸어, 기존 풀이에서 그대로 적용할 부분과 새로 확인해야 할 조건을 구분하게 했다.
새 문제에서는 식을 보자마자 계산부터 시작하지 않고 x → 안쪽 함수 → 바깥 함수의 흐름을 표시했다. 역함수 문제에서도 식을 정리한 뒤 정의역 표를 작성하고 원식에 재대입했다. 여주시대신고등학교 고2수학과외의 수정 훈련은 맞힌 답보다 이러한 근거와 조건 확인이 유지되는지를 중심으로 진행되었다.