표와 명제가 함께 나오는 문제에서 시작된 풀이 점검
송호고등학교 고1수학과외에서는 표에 제시된 수량을 유리식으로 옮기는 과정과 명제의 조건을 해석하는 과정을 따로 보지 않고 연결해 다룬다. 이동과 관련된 자료가 표로 주어지면 모든 숫자를 식에 넣기보다, 무엇을 구해야 하는지 먼저 정하고 필요한 값만 선택해야 풀이가 단순해진다.
처음 문제를 풀 때 이 학생은 표의 수치를 순서대로 계산한 뒤 명제의 참·거짓을 바로 판단했다. 그러나 명제에서 가정과 결론을 나누기 전에 결론이 맞는지부터 확인했기 때문에, 제시한 반례가 실제 명제를 반박하지 못하는 상황이 생겼다. 계산 과정 자체는 이어졌지만 어떤 조건을 검증했는지 설명하지 못했다.
최초 오류는 반례를 고르는 단계에서 나타났다
예를 들어 표에 있는 두 양의 관계를 유리식으로 나타내고, “특정 조건이면 결과가 성립한다”는 명제를 확인하는 상황이었다. 이 학생은 표의 숫자 하나를 대입해 결과가 맞는지 본 뒤 참이라고 판단했다. 이후 다른 값을 반례로 제시했지만, 그 값이 명제의 가정을 만족하는지 확인하지 않았다.
즉, 가정이 x의 범위와 분모가 0이 되지 않는 조건을 함께 포함하고 있는데도 결론의 식만 비교했다. 반례가 가정을 만족하지 않으므로 결론을 깨뜨리지 못했지만, 이 지점을 확인하지 않은 채 참·거짓을 판단한 것이 최초 오류였다. 표 문제에서 구한 각각의 범위도 따로 계산한 뒤 공통부분을 찾지 않아, 실제 가능한 x의 범위보다 넓은 답을 남겼다.
명제의 참·거짓을 먼저 고르는 것이 아니라, 가정과 결론을 분리하고 반례가 가정을 만족하는지부터 확인한다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
그래프와 식을 함께 제시하면 이 학생은 명제가 참인지 거짓인지 판단할 수 있다. 유리식의 분모 조건을 확인하고 식의 값도 계산할 수 있으며, 각 조건에서 나온 범위를 수직선에 표시하는 것도 가능하다. 다만 가정과 결론을 문장으로 분리해 근거를 설명하는 과정은 일정하지 않다.
특히 표의 여러 행에서 각각 구한 범위를 마지막에 교집합으로 묶어야 할 때, 앞에서 계산한 범위를 그대로 답으로 옮기는 경향이 있다. 유리식 구조와 명제의 조건이 연결된 문제에서는 분모 조건, 표의 범위, 구해야 할 값이 모두 필요한지 판단해야 하는데, 이 선택이 아직 자동화되지 않았다.
조건을 나누고 수직선으로 다시 검증하기
수정할 때는 문제의 문장을 먼저 ‘가정’과 ‘결론’으로 나누어 적는다. 그다음 유리식의 분모가 0이 되지 않는 조건, 표에서 주어진 범위, 문제에서 요구한 범위를 각각 별도의 수직선에 표시한다. 각각 구한 범위를 합치는 것이 아니라 공통부분만 남겨 실제 가능한 범위를 결정한다.
반례를 사용할 때도 숫자를 바로 대입하지 않는다. 먼저 그 숫자가 가정을 만족하는지 확인하고, 만족한다면 어떤 결론을 깨뜨리는지 식으로 설명한다. 반례가 가정을 만족하지 않으면 명제를 반박할 수 없다고 표시한다. 풀이 마지막에는 선택한 값을 원래 유리식에 다시 대입해 분모 조건과 결론을 함께 검산한다.
다음 날에는 해설 없이 같은 구조의 문제를 빈 종이에 재풀이했다. 이후 표의 숫자와 범위를 바꾼 문제, 가정과 결론의 위치를 바꾼 명제, 공통부분이 달라지는 문제를 차례로 적용했다. 이제는 표의 모든 숫자를 계산에 넣기보다 필요한 조건을 먼저 고르고, 가정에 해당하는 범위를 수직선에 표시한 뒤 결론을 검증하는 방식으로 풀이를 시작한다.
송호고등학교고1수학과외의 학습에서도 중요한 변화는 정답을 맞히는 데서 끝나지 않고, 어떤 조건을 사용했고 반례가 어느 부분을 깨뜨렸는지 설명하는 데 있다. 숫자가 바뀐 새 문제에서도 이 학생은 유리식을 세우기 전에 조건을 분리하고, 마지막에 공통범위와 원래 식을 다시 대조한다.