끝점 하나가 달라진 부등식 풀이
주말 누적복습에서 한 학생은 범위의 경계값까지 계산한 뒤 정답 구간을 표시했지만, 끝점에 등호가 포함되는지는 확인하지 않았다. 계산한 값 자체는 맞았으나 열린 구간과 닫힌 구간을 구분하지 못해 최종 답의 한쪽 끝을 잘못 표시한 것이다. 풀이 중간에 등식과 부등식이 바뀐 근거도 남아 있지 않아, 며칠 뒤 다시 보았을 때 어느 단계에서 판단이 달라졌는지 찾기 어려웠다.
이런 경우 단순 계산실수로만 처리하면 같은 오답이 반복된다. 실제로는 먼저 나눌 기준을 정하고, 각 경우가 서로 겹치지 않으면서 빠짐없이 전체 조건을 덮는지 확인하는 과정이 필요하다. 한솔고등학교 수학과외에서는 심화문제를 바로 끝까지 밀어붙이기보다, 문제의 기본 조건 몇 개만 남겨 처음 식을 세우는 지점을 다시 확인하는 방식으로 접근할 수 있다.
심화문제를 기본 조건으로 되돌리는 과정
학교 수업 직후 막힌 문제를 복습할 때는 모든 조건을 한꺼번에 처리하지 않는다. 먼저 구해야 할 값을 정하고, 범위를 결정하는 조건과 단순히 계산을 돕는 조건을 구분한다. 예를 들어 어떤 식의 값이 특정 범위에 들어가는지를 묻는 문제라면,
- 변수의 기본 범위를 먼저 적고
- 부등식의 양변에 같은 변형을 적용한 이유를 남기며
- 음수로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는지 확인하고
- 경계값을 원래 조건에 다시 대입한다.
이렇게 하면 풀이를 짧게 줄이더라도 생략해도 되는 계산과 반드시 남겨야 하는 판단이 분리된다. 특히 부등식에서 등호가 가능한지는 마지막에 임의로 표시하는 것이 아니라, 원래 조건에서 해당 경계값이 허용되는지 대입해 결정해야 한다.
경우를 나눌 때 겹침과 누락을 확인하기
문제의 조건에 따라 경우를 나눌 때는 기준을 먼저 문장으로 적는다. ‘변수가 0보다 작은 경우와 0 이상인 경우’처럼 기준을 정했다면 두 경우가 겹치지 않는지, 모든 가능성을 빠뜨리지 않았는지를 살핀다. 0을 어느 쪽에 포함할지 정하지 않은 채 계산부터 시작하면, 경계값에서 등호가 빠지거나 같은 값을 두 번 세는 일이 생긴다.
풀이가 끝난 뒤에는 각 경우에서 사용한 조건을 하나씩 표시한다. 사용하지 않은 조건이 남아 있다면 그 조건이 불필요한 것인지, 아니면 풀이에서 누락된 것인지 구분한다. 정답 구간을 수직선에 나타낼 때도 계산 결과만 옮기지 않고, 원래 부등식에 경계값을 넣어 참이면 빈 점이 아닌 채운 점으로 표시한다.
반복오답을 새 오답보다 먼저 다루는 복습
현재는 기준을 정하고 중복·누락 여부를 확인하는 수준까지는 가능하며, 풀이를 짧게 정리하는 힘도 있다. 다만 주말에 여러 문제를 누적해서 볼 때 반복해서 틀린 문제와 새로 틀린 문제를 같은 비중으로 처리하면서, 자주 나타나는 원인이 뒤로 밀리고 있다. 따라서 오답을 정리할 때는 문제를 단순히 날짜순으로 배열하지 않고, ‘경계값 확인 누락’, ‘경우 기준 불명확’, ‘등식 변형 근거 생략’처럼 최초 오류의 유형으로 묶는다.
해설을 본 뒤에는 표시된 풀이를 그대로 베끼지 않고, 다음 날 빈 종이에서 문제의 기본 조건과 경우의 기준만 먼저 적는다. 이후 원래 식에 경계값을 대입해 등호 포함 여부를 확인하고, 지난 풀이에서 생략했던 등식·부등식 변형의 근거를 한 줄씩 복원한다. 정자동에서 학교 수업 복습과 주말 누적복습을 병행하는 경우에도 이 순서를 유지하면 복습량보다 반복오답의 원인에 초점을 맞출 수 있다.
며칠 뒤 같은 문제를 다시 풀었을 때는 정답 구간을 표시하기 전에 경계값을 먼저 대입하고, 경우를 나눈 기준이 겹치거나 빠진 곳이 없는지 스스로 확인하는 변화가 나타난다. 한솔고등학교수학과외의 학습 기준도 풀이를 무조건 짧게 만드는 데 있지 않고, 줄여도 되는 단계와 끝까지 남겨야 할 판단을 구분하는 데서 세워진다.