청명고등학교고3수학과외에서 다룬 매개변수 문항의 최초 오류
영통동과 연결된 청명고등학교고3수학과외 학습 사례에서는 매개변수로 표현된 지수·로그 함수의 조건을 끝까지 유지하는 연습을 중심에 두었다. 이 학생은 지수·로그 함수의 미분 자체는 수행할 수 있었지만, 시험 후반에 풀이가 길어지면 미분 결과와 원래 함수의 정의역을 동시에 확인하는 데 흔들림이 나타났다.
실전 문제에서 로그가 포함된 매개변수식을 미분한 뒤 도함수가 0이 되는 후보값을 구했을 때도 처음 계산은 맞았다. 그러나 후보값을 얻은 뒤 로그의 진수가 양수인지, 지수함수와 로그함수의 원래 식이 해당 값에서 정의되는지를 다시 대입하지 않았다. 결국 미분식에서 나온 후보 두 개를 모두 답으로 포함했고, 그중 하나는 원래 함수의 정의역 밖에 있어 제외해야 했다.
계산보다 먼저 확인해야 할 조건
오답의 최초 지점은 미분 과정이 아니었다. 문제를 읽고 매개변수의 범위를 확인한 뒤 미분식을 세웠지만, 도함수=0이라는 결과를 곧바로 원래 함수의 해 또는 극값 후보로 확정한 것이 문제였다. 매개변수식에서 얻은 값은 후보일 뿐이므로 다음 순서를 지켜야 한다.
- 로그의 진수와 지수식의 정의조건을 먼저 표시한다.
- 매개변수에 대한 미분식에서 도함수가 0이 되는 후보를 구한다.
- 후보값을 원래 함수와 정의역 조건에 다시 대입한다.
- 남은 값만 극대·극소 또는 구하려는 값의 후보로 분류한다.
특히 시험 후반에는 직전 문제에서 사용한 공식을 그대로 가져와 도함수의 결과만 확인하는 경향이 있었다. 현재 문제에서 요구하는 값이 극값인지, 접선의 기울기인지, 특정 매개변수의 범위인지부터 다시 표시하지 않으면 같은 미분 계산으로도 결론이 달라질 수 있다.
정의역과 도함수의 관계를 다시 세운 과정
수정할 때는 후보값을 구한 뒤 바로 답을 쓰지 않고, 원래 함수의 정의조건을 별도 줄에 적도록 했다. 예를 들어 로그의 진수가 매개변수 t에 관한 식이라면 t에 대한 부등식을 먼저 세우고, 도함수에서 얻은 t₁, t₂를 각각 그 부등식에 대입한다. 이 과정을 거쳐 정의역 밖의 후보를 지운 다음, 남은 후보에서 도함수 부호가 실제로 바뀌는지 확인한다.
극대·극소를 판단할 때도 도함수=0만으로 결론내리지 않고 후보 전후의 부호를 나누어 표시했다. 정의역이 끊기는 지점이 있다면 해당 지점을 기준으로 구간을 분리하고, 함수가 존재하지 않는 값을 극값 후보에 포함하지 않도록 했다. 이렇게 하면 미분 결과와 원래 함수의 조건을 한꺼번에 유지할 수 있다.
후보값을 구한 순간 풀이를 끝내지 않고, 원래 식의 정의역에 다시 넣어 살아남는 값만 다음 판단으로 넘긴다.
다음 날에는 숫자와 로그의 진수를 바꾼 유사 문항을 표시 없이 다시 풀었다. 먼저 정의역 부등식을 세우고, 그다음 미분식을 작성한 뒤, 후보값을 원래 식에 대입하는 순서를 지켰다. 이후 속도가 매개변수에 따라 주어진 문제에서는 속도가 0이 되는 시점을 먼저 찾아 구간을 나누고, 변위와 이동거리를 각각 계산하게 하여 조건 확인을 중간에 멈추지 않는지도 점검했다.
청명고등학교고3수학과외의 재적용에서는 표현과 소재를 바꾼 모의평가형 매개변수 문제를 제한시간 안에 풀게 했다. 풀이 첫 줄에 정의역, 도함수, 구할 값을 각각 표시하고, 마지막에는 후보값을 원래 함수에 대입해 검산했다. 이제 미분 계산은 빠르게 진행하면서도 시험 후반에 정의역 확인을 생략하지 않는지를 독립적으로 확인하는 단계로 넘어갔다.