청명고등학교 고1 수학과외에서 경우의 수를 다시 세는 방법
청명고등학교 고1 수학과외에서는 최종 답만 맞히는 것보다 어떤 조건을 먼저 나누고, 각 식이 왜 필요한지 설명하는 풀이를 중요하게 다룬다. 특히 고1 교과서 기본문제의 선택 조건에서는 경계값을 확인하고, 이미 센 경우와 아직 세지 않은 경우를 구분해야 중복과 누락을 막을 수 있다.
한 번에 세려다 정상적인 경우까지 제외한 장면
한 고1 학생은 여러 선택 조건이 붙은 경우의 수 문제에서 조건을 읽은 뒤 전체 경우를 먼저 계산했다. 이후 제외조건을 마지막에 한꺼번에 빼는 방식으로 답을 정리했다. 문제의 조건을 단계별로 나누기보다 숫자부터 세고, 마지막 식에서 제외할 경우를 묶어 처리한 것이다.
그 과정에서 이미 제외한 경우를 다시 빼면서 정상적인 경우까지 함께 제거했다. 처음에는 선택 조건을 나누어 세었지만, ‘이 조건을 만족하지 않는 경우’와 ‘앞 단계에서 이미 제외된 경우’가 겹치는지 다시 확인하지 않았다. 따라서 계산식 자체는 이어졌지만 최종 경우의 수가 실제보다 작아졌다.
전체 경우 → 첫 번째 선택조건을 만족하는 경우 → 두 번째 조건에서 새롭게 제외되는 경우
이 순서를 지키지 않고 제외조건을 마지막에 몰아서 처리하면, 같은 경우를 두 번 빼는 오류가 생긴다. 핵심은 계산 능력보다 각 경우가 어느 단계에서 처음 분류되었는지 표시하는 데 있었다.
현재 가능한 풀이와 아직 흔들리는 조건
현재는 선택 조건을 단계별로 나누고, 각 단계에서 가능한 경우를 식으로 세울 수 있다. 전체 경우와 특정 조건을 만족하는 경우를 구분하는 기본 구조도 이해하고 있다. 다만 제외조건이 추가되면 이미 센 경우와 새롭게 제외할 경우의 겹침을 다시 확인하는 과정이 자동으로 이어지지 않는다.
특히 경계값이 포함되는지 빠지는지를 확인할 때 한 단계의 결과만 보고 다음 식으로 넘어가는 경향이 있다. 그래서 첫 식을 세운 이유는 설명할 수 있어도, 마지막에 뺀 값이 정말 새로운 경우만 포함하는지 근거를 말할 때 풀이가 끊긴다.
조건표로 중복을 먼저 확인한 수정 과정
먼저 문제에서 구할 값을 ‘전체 선택 방법의 수’로 적고, 조건을 핵심조건과 보조조건으로 분리했다. 그다음 선택을 1단계와 2단계로 나누어 각 단계에서 가능한 경우를 직접 적었다. 제외되는 경우에는 표시를 붙여 어느 단계에서 이미 빠졌는지 확인했다.
이후 전체 경우에서 제외 경우를 뺄 때는 제외 대상들을 한 줄에 묶지 않고 다음처럼 분리했다.
- 전체 조건을 만족하는 경우
- 첫 번째 조건 때문에 제외되는 경우
- 두 번째 조건 때문에 새롭게 제외되는 경우
- 첫 번째와 두 번째 조건에 동시에 해당하는 경우
두 제외조건이 겹치는 경우에는 같은 항목을 두 번 빼지 않도록 별도로 표시했다. 경계에 해당하는 선택은 실제 목록에 대입하고, 마지막 답을 구한 뒤 각 경우가 한 번씩만 포함되었는지 다시 세었다. 오답 풀이에서는 최초로 중복이 생긴 식에 밑줄을 그어, 단순히 마지막 계산값만 고치지 않도록 했다.
조건을 바꾼 문제에 재적용하기
다음 날에는 숫자와 제외조건을 바꾼 문제를 빈 종이에 제시했다. 이번에는 곧바로 전체 식을 쓰지 않고, 먼저 구할 값과 조건을 분리한 뒤 선택 단계를 표처럼 적었다. 특정 조건에 해당하는 경우를 세고 나서 이미 표시된 항목과 겹치는지 확인한 다음 다음 식으로 넘어갔다.
마지막에는 경계값을 직접 대입하고, 각 경우가 누락되지 않았는지 역순으로 점검했다. 청명고등학교고1수학과외에서 확인한 변화는 답만 고친 것이 아니라, 새로운 조건에서도 ‘전체 경우를 세기 → 제외 대상을 단계별로 분류하기 → 중복 확인 → 경계값 검산’의 순서를 스스로 세운 점이다.