오남고등학교 고3수학과외에서 다룬 삼각함수 극값 판별
오남읍과 연계해 진행한 오남고등학교고3수학과외에서는 파이널 실전세트의 최댓값·최솟값 문제를 다시 풀며, 도함수가 0이라는 사실만으로 극값을 확정하지 않는 훈련을 진행했다. 이 학생은 삼각함수가 포함된 함수의 도함수와 정지점을 찾는 데에는 익숙했지만, 시험 후반에는 계산을 마친 뒤 부호표를 생략하는 경향이 있었다.
도함수가 0인 두 점을 모두 극값으로 판단한 과정
학교자료 재풀이에서 먼저 삼각함수를 미분해 도함수를 구하고, 도함수가 0이 되는 두 x값을 정확히 찾았다. 그러나 두 점을 모두 극대 또는 극소 후보로 표시한 뒤 곧바로 함수값을 대입했다. 한 점의 왼쪽과 오른쪽에서 도함수의 부호가 모두 양수였는데도, 도함수가 0이 되었다는 이유만으로 극값에 포함한 것이다.
그 결과 실제로는 증가가 계속되는 정지점까지 극값으로 처리되어 최댓값·최솟값 후보가 잘못 구성됐다. 특히 정의역의 양 끝점과 매개변수 조건으로 생기는 경계까지 함께 비교해야 했지만, 내부의 도함수 0인 점만 계산해 최종 답을 정했다.
도함수 0은 극값의 필요 후보일 뿐이며, 극값 확정은 전후 부호변화와 구간 끝점 비교까지 끝낸 뒤 이루어진다.
부호표와 그래프를 함께 사용한 수정
오답의 최초 지점을 찾기 위해 먼저 도함수가 0이 되는 값의 좌우에 임의의 수를 대입했다. 도함수 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 점은 극소, 양수에서 음수로 바뀌는 점은 극대, 양수에서 양수 또는 음수에서 음수로 유지되는 점은 극값이 아닌 정지점으로 분류했다.
이후 원함수의 그래프가 해당 구간에서 실제로 올라가는지 내려가는지를 도함수 부호와 교차검증했다. 삼각함수 미분식의 부호를 구간별로 해석한 뒤, 정의역 안에 포함되는 점만 남기고 양 끝점의 함수값을 추가했다. 모든 후보의 함수값을 비교한 다음에야 전체 최댓값과 최솟값을 결정하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
매개변수 조건으로 재적용한 실전 훈련
수정 과정에서는 모든 x에서 성립하는 부등식을 함수의 최솟값 조건으로 바꾸는 문제를 새로 적용했다. 먼저 정의역을 확인하고, 도함수가 0인 점이 매개변수에 따라 구간 안에 들어오는지 분류했다. 그다음 극값 후보, 양 끝점, 경계에서의 함수값을 각각 계산해 매개변수 범위를 세웠다.
다음 날에는 숫자와 삼각함수의 계수를 바꾼 문제를 해설 없이 독립적으로 풀었다. 처음에는 도함수 0인 점을 표시하되 바로 극값이라고 쓰지 않고, 옆에 좌우 부호를 적은 뒤 함수값 비교로 넘어갔다. 맞힌 문제도 첫 풀이에서 왜 그 후보를 선택했는지 설명하게 하여 계산 결과만 우연히 맞은 경우를 걸러냈다.
파이널 제한시간에서의 재검증
현재 이 학생은 정지점과 후보를 찾는 단계까지는 안정적이지만, 제한시간이 부족한 후반에는 부호변화와 경계조건 확인을 생략하는 모습이 남아 있다. 그래서 실전 세트에서는 내부 후보를 찾은 뒤 최소한 도함수 부호 세 칸과 끝점 포함 여부를 표시하는 것을 중단 기준으로 정했다.
오남고등학교 고3수학과외의 마지막 재검증에서는 계산값을 그래프의 증가·감소 방향과 대조하고, 매개변수 경계에서 후보가 사라지거나 겹치는지도 확인했다. 이후 같은 유형을 시간 제한 안에 다시 풀 때에는 도함수가 0인 점을 모두 극값으로 적지 않고, 부호변화와 정의역 경계까지 확인한 뒤 최댓값·최솟값을 확정했다.