상현고등학교 고2 수학과외에서 다룬 함수 합성 서술형 오답
상현고등학교 고2수학과외에서는 시험 후반부에 자주 나타나는 함수 합성 문제를 풀이 결과보다 조건 해석의 순서에 초점을 맞춰 점검했다. 교과서 심화예제와 비슷한 숫자가 나오면 이전 풀이를 그대로 시작하는 습관이 있어, 질문이 바뀐 문제에서 첫 관계를 선택하는 데 시간이 걸렸기 때문이다.
정답은 맞았지만 논리의 출발점이 빠진 경우
한 서술형 문제에서 학생은 합성함수의 식을 계산한 뒤 최종 답을 정확히 구했다. 그러나 역함수를 사용하기 전에 확인해야 하는 역함수 존재조건을 적지 않았다. 함수가 일대일이어야 역함수가 정의된다는 근거 없이 식만 변형하면서 중간 논리가 끊긴 것이다.
풀이를 다시 나누어 보니 최초 오류는 계산 과정이 아니라 문제의 조건을 읽는 단계에서 발생했다. 학생은 주어진 함수와 합성 순서를 확인한 뒤 바로 예제의 계산 절차를 적용했고, 이번 문제에서 요구한 것이 합성함수의 값인지 역함수의 존재와 관계까지 설명하는 것인지 마지막에야 확인했다.
계산하기 전에 ‘어떤 함수가 먼저 작용하는가’, ‘역함수를 사용할 조건이 있는가’, ‘구한 식이 원래 관계를 만족하는가’를 먼저 표시한다.
현재는 기본적인 합성함수 계산과 교과서 심화예제의 풀이를 이해한다. 다만 숫자나 질문의 표현이 바뀌면 첫 관계를 새로 선택하는 속도가 느리고, 서술형에서는 생략해도 되는 계산과 반드시 남겨야 하는 정의·성질·조건을 구분하는 데 흔들림이 있다.
다음 날 무표시 재풀이로 풀이 선택을 바꾸기
수정할 때는 예제의 풀이를 보지 않은 다음 날, 숫자와 함수식을 바꾼 문제를 먼저 제시했다. 학생은 곧바로 계산하지 않고 합성 순서를 화살표로 나타낸 뒤, 역함수 사용 여부와 정의역 조건을 한 문장으로 적었다. 이후 식을 구하고 원래 함수에 다시 대입해 합성 결과가 맞는지 확인했다.
부등식 경계값이 포함되는 문제에서도 예제의 숫자를 기억해 답을 고르는 대신, 등호가 가능한지와 함수의 정의역이 어디까지인지 따로 확인하게 했다. 계산 결과 옆에는 ‘이 값은 경계조건을 만족한다’처럼 사용한 기준을 남겼다.
같은 방식으로 삼각함수 값을 설명할 때도 각을 암기된 값으로만 처리하지 않고 단위원에서 해당 각의 좌표를 잡은 뒤 사분면의 부호를 근거로 적게 했다. 숫자가 달라진 새 문제에서도 좌표와 부호를 먼저 확인하는지 살펴보며, 하나의 예제 풀이를 반복하는 것이 아니라 핵심 관계를 새롭게 선택하는지를 확인했다.
상현고등학교고2수학과외의 재적용 과정에서는 교과서·학교 프린트·심화문제의 표현을 달리해 같은 개념을 찾게 했다. 최종 답을 맞히는 것뿐 아니라 역함수 존재조건, 합성 순서, 경계값 같은 논리 근거를 중간식에 남기는 행동까지 확인하면서 서술형 풀이의 빈칸을 줄여 갔다.