같은 경우를 두 번 센 순간부터 오답을 다시 본다
운암고등학교 수학과외에서 먼저 살펴볼 장면은 계산식의 마지막 줄이 아니라 풀이를 시작한 직후의 판단이다. 해설 없이 혼자 문제를 풀던 학생은 조건을 표로 옮기지 않고 떠오르는 순서대로 경우를 나열했다. 그 과정에서 같은 경우를 두 번 세었고, 다른 한 경우는 빠뜨렸다. 답이 맞지 않자 계산실수로 정리하려 했지만, 최초 오류는 계산이 아니라 경우를 나누는 기준을 세우지 않은 데 있었다.
이런 문제에서는 식을 세우기 전에 무엇을 구하는지, 어떤 조건이 경우를 제한하는지, 해가 어느 범위에 있어야 하는지를 표시해야 한다. 특히 그래프와 식이 함께 제시되면 그래프의 기본 모양만 기억하는 것으로는 부족하다. 식의 조건이 바뀔 때 그래프의 위치와 모양이 어떻게 달라지는지 연결해야 같은 해를 중복해서 세거나 범위를 벗어난 값을 답에 포함하는 일을 줄일 수 있다.
그래프의 모양과 식의 조건을 한 번에 대조하기
현재 상태는 그래프의 기본 형태를 읽는 데에는 가능하지만, 식의 조건과 그래프 변화를 동시에 판단할 때 속도가 늦어지는 편이다. 예를 들어 특정 구간에서만 함수가 정의되거나 교점의 개수를 묻는 문제라면, 계산으로 얻은 값만 적어서는 충분하지 않다. 먼저 그래프에서 가능한 해의 위치와 개수를 예상하고, 이후 식을 변형해 얻은 해가 그 예상과 일치하는지 확인해야 한다.
풀이 중에는 조건을 다음처럼 분리해 기록할 수 있다.
- 그래프에서 읽히는 교점 또는 변화 구간
- 식에 직접 반영해야 하는 조건
- 해가 가질 수 있는 범위와 경계값
- 이미 센 경우와 아직 확인하지 않은 경우
이 기록은 정답이 나온 뒤에도 사용한다. 제시된 조건을 모두 식에 반영했는지 하나씩 확인하고, 계산 결과를 원래 범위에 다시 넣어 본다. 경계값에서는 부등호가 포함되는지 제외되는지도 따로 살펴야 한다. 계산상 가능한 값이 그래프의 정의역이나 문제의 조건에 맞지 않으면 답에서 제거해야 한다.
누적복습에서는 익숙한 풀이를 바로 꺼내지 않기
여러 단원을 섞은 누적복습 문제에서 막힘이 커지는 이유는 앞서 배운 방법을 모르는 것이 아니라, 새 문제의 구조를 확인하기 전에 익숙한 방식으로 시작하기 때문이다. 문제를 읽은 뒤 바로 식을 전개하면 그래프 조건, 해의 범위, 경우 분류 중 하나가 빠질 수 있다. 그래서 첫 줄에는 계산식보다 문제의 구조를 짧게 적는 훈련이 필요하다.
구해야 하는 값과 조건을 먼저 표시하고, 가능한 경우를 겹치지 않게 나눈 뒤 계산한다.
오답 재현에서는 해설을 보지 않고 처음과 같은 방식으로 다시 시작하되, 최초로 선택한 판단을 표시한다. 경우를 나누는 순간 같은 조건이 반복되었는지, 빠진 조건은 없는지 확인하고, 각 경우의 해를 계산한 다음 범위와 경계값을 대조한다. 마지막에는 그래프가 보여 주는 개수와 식으로 얻은 해의 개수가 맞는지 비교한다.
정답 뒤에 남은 조건까지 확인하는 변화
운암고등학교수학과외의 학습 과정에서는 맞힌 문제도 풀이를 끝내지 않는다. 사용한 조건에 표시를 남기고, 남은 조건이 있다면 그 조건이 답의 범위나 경우의 수에 어떤 영향을 주는지 설명하게 한다. 숫자나 구간을 바꾼 변형문제에서는 기존 식을 그대로 쓰기보다 그래프의 변화부터 예상하게 한다.
이후에는 경우를 떠오르는 순서대로 나열하지 않고 기준을 정해 표로 구분한다. 계산 결과를 얻은 뒤에는 경계값을 다시 대입하고, 그래프에서 예상한 해의 개수와 비교한다. 이렇게 하면 오답을 단순한 계산실수로 넘기지 않고, 조건을 빠뜨린 지점이나 같은 경우를 중복한 최초의 판단 오류까지 설명할 수 있다.