영덕고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수 풀이 장면
영덕고등학교 고1 수학과외에서는 정답 숫자만 맞히는 것보다 선택 조건을 어떤 순서로 나누어 세었는지, 각 식이 왜 필요한지 답안에 드러내는 연습을 진행했다. 특히 해설 없는 새 문제에서 여러 조건이 한꺼번에 제시될 때 전체 경우와 제외할 경우를 분리하지 않으면 같은 경우를 두 번 빼는 오류가 생겼다.
제외조건을 한꺼번에 처리하며 생긴 오답
한 고1 학생에게 선택 가능한 대상의 수와 제한 조건이 표로 제시된 문제를 주었다. 학생은 먼저 가능한 전체 경우를 계산한 뒤, 조건에 맞지 않는 경우를 마지막에 한꺼번에 빼는 방식으로 접근했다. 기본적인 단계별 세기는 가능했지만 제외조건이 두 개 이상 붙자 이미 제외한 경우를 다시 제외했다.
풀이에서는 전체 경우를 24로 계산한 다음 첫 번째 제외조건에 해당하는 6을 빼고, 두 번째 제외조건에 해당하는 5를 다시 뺐다. 그런데 두 조건을 동시에 만족하는 2가 첫 번째 제외 과정에서 이미 빠졌다는 점을 확인하지 않은 채 두 번째 수에도 포함했다. 결과적으로 실제로는 한 번만 제외해야 할 2를 두 번 빼서 최종 답을 15로 적었다.
전체 경우 → 첫 번째 제외 → 두 번째 제외 → 두 제외조건의 겹치는 경우 확인
문제의 조건을 읽을 때 숫자부터 계산한 것이 최초 오류였다. ‘첫 번째 조건에 해당하는 경우’, ‘두 번째 조건에 해당하는 경우’, ‘두 조건에 동시에 해당하는 경우’를 구분하지 않았기 때문에 식의 계산 자체는 이어졌지만 답의 범위가 실제 경우의 수보다 작아졌다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 지점
현재 이 학생은 선택 조건을 단계별로 나누어 표로 정리하고, 각 단계에서 남은 선택 수를 곱하는 방식은 사용할 수 있다. 조건이 하나이거나 서로 겹치지 않는 경우에는 전체 풀이를 끝까지 완성한다. 그러나 제외조건이 추가되면 이미 센 경우와 새로 세는 경우가 겹치는지 다시 확인하지 못하고, 시험 직전에는 문제를 보자마자 선택 수부터 계산하는 행동이 나타난다.
따라서 풀이 순서를 ‘구할 값과 조건 분리 → 전체 경우 설정 → 제외조건별 경우 표시 → 겹치는 경우 확인 → 최종 계산’으로 고정했다. 표의 각 행에는 조건 이름과 해당 경우를 적고, 같은 대상이 두 행에 모두 들어가면 별도 표시하도록 했다. 단순히 식을 세우는 데서 끝내지 않고, 각 항이 어떤 조건을 의미하는지 말로 설명하게 했다.
정답을 보이지 않고 오답 최초지점 찾기
오답을 수정할 때는 정답을 먼저 알려주지 않았다. 먼저 전체 경우를 다시 적고, 첫 번째 제외조건에 해당하는 경우에 번호를 붙였다. 이어 두 번째 제외조건을 적을 때 첫 번째 표에 이미 표시된 번호가 있는지 대조하게 했다. 두 조건에 공통으로 해당하는 경우가 확인되자, 두 번째 제외에서는 새롭게 빠지는 경우만 세도록 식을 고쳤다.
예를 들어 전체 경우를 24, 첫 번째 제외를 6, 두 번째 제외 중 새롭게 빠지는 경우를 3으로 정리하면 최종 식은 24-6-3이 된다. 두 제외조건의 겹침을 별도로 계산하는 방식이라면 24-6-5+2처럼 작성하고, 마지막에 겹치는 2를 다시 더하는 이유를 설명하게 했다. 이 과정에서 중간 부호가 바뀌는 지점마다 실제 표와 식을 대조했다.
숫자와 조건을 바꾼 새 문제에 재적용
다음 날에는 숫자를 바꾼 문제와 제외조건의 순서를 바꾼 문제를 해설 없이 제시했다. 학생은 처음부터 계산하지 않고 ‘전체’, ‘조건 A’, ‘조건 B’, ‘A와 B의 공통’ 칸을 먼저 만들었다. 이후 각 칸에 들어가는 경우를 하나씩 표시하고, 공통 부분을 두 번 뺄지 한 번만 뺄지 확인한 뒤 식을 세웠다.
마지막 검산에서는 전체 경우보다 최종 답이 큰지 작은지 범위를 확인하고, 표에 적힌 경우를 다시 세어 식의 결과와 맞추었다. 계산량이 늘어난 문제에서도 부호와 괄호를 중간마다 확인하면서 정상적인 경우를 제외하지 않는 풀이가 나타났다. 영덕고등학교 고1 수학과외 학습에서는 이러한 재적용 과정을 통해 선택조건을 나누어 세는 능력과 중복·누락을 검산하는 습관을 함께 다루었다.