양지고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수의 첫 식 세우기
양지고등학교 고1수학과외에서는 교과서 예제의 풀이 순서를 외우기보다, 숫자와 질문이 달라졌을 때도 조건을 다시 분류해 첫 식을 세우는 연습을 중심으로 진행한다. 특히 두 개념이 한 문항에 함께 제시되면 떠오르는 경우를 적는 방식에서 벗어나야 한다.
떠오르는 순서로 세면서 생긴 오답
한 고1 학생은 간단한 경우의 수는 셀 수 있었다. 하지만 조건이 두 가지로 늘어난 문제에서는 가능한 경우를 생각나는 순서대로 목록에 적었다. 이 과정에서 같은 배열을 두 번 기록했고, 실제로 가능한 경우 하나는 빠뜨렸다. 최종 답은 계산되어 있었지만, 어떤 기준으로 모든 경우를 나누었는지 설명하지 못했다.
절댓값 조건이 포함된 문항에서도 비슷한 장면이 나타났다. 절댓값 안의 식이 양수인 경우와 음수인 경우를 먼저 나누지 않고 숫자를 대입해 보다가 일부 조건만 확인했다. 이후 다른 조건을 적용하면서 이미 센 경우를 다시 포함했고, 반대로 한 구간은 목록에서 빠졌다.
경우를 먼저 나열하는 것이 아니라, 서로 겹치지 않으면서 전체를 빠짐없이 포함하는 기준을 먼저 정해야 한다.
현재 가능한 수준과 흔들리는 조건
조건이 하나이고 경우가 짧게 나뉘는 문제에서는 각 경우를 직접 확인해 답을 구할 수 있다. 그러나 숫자 조건과 선택 조건처럼 두 개념이 섞이면 중복과 누락을 동시에 관리하는 힘이 아직 안정적이지 않다. 맞힌 문제도 왜 그 식을 세웠는지 설명할 때 교과서 예제의 숫자와 순서를 그대로 떠올리는 경향이 남아 있다.
따라서 문제를 읽은 뒤 먼저 구할 값을 표시하고, 핵심조건과 보조조건을 나눈다. 그다음 선택조건을 단계별로 분리해 첫 번째 기준으로 나눈 경우들이 서로 겹치지 않는지 확인한다. 각 분류가 전체 경우를 빠짐없이 포함하는지도 마지막에 점검한다.
조건을 바꾸어 다시 적용한 과정
처음에는 목록을 쓰기 전에 절댓값 조건의 부호를 나누도록 했다. 예를 들어 절댓값 안의 식이 0 이상인 경우와 0 미만인 경우를 각각 세운 뒤, 각 경우에서 선택 가능한 대상을 다시 분류하게 했다. 같은 배열이 두 분류에 들어갈 수 없는지 경계값을 대입해 확인하고, 각 목록의 합이 전체 조건을 설명하는지도 말로 정리했다.
답만 다시 계산하지 않고 오답이 시작된 최초 지점에 표시했다. 경우를 떠오르는 대로 적은 순간, 첫 번째 기준이 없었다는 점을 찾아낸 뒤 그 자리에서 표를 지우고 분류 기준부터 다시 세웠다. 이어 숫자와 조건을 바꾼 문제를 해설 없이 풀게 하여, 같은 경우를 두 번 세거나 가능한 경우를 빠뜨리는지 확인했다.
새 문제에서는 먼저 “무엇을 기준으로 나눌 것인가”를 적고, 각 경우의 조건을 식으로 표현한 다음 개수를 계산했다. 마지막에는 경우별 결과를 합치기 전에 중복 여부와 누락 여부를 다시 확인했다. 양지고등학교고1수학과외에서 확인한 변화는 정답을 맞히는 데 그치지 않고, 숫자와 질문이 바뀐 문항에서도 첫 식을 세운 이유를 설명하며 풀이를 시작한다는 점이다.