수지고등학교고1수학과외에서 다룬 역관계의 첫 오류
첫 시험 이후 복습에서 이 학생은 함수식의 x와 y를 서로 바꾸어 역함수 식을 만드는 계산 자체는 수행할 수 있었다. 하지만 식을 뒤집기 전에 원래 대응이 일대일인지 확인해야 한다는 조건은 풀이에 남기지 않았다. 따라서 계산 과정은 이어졌지만, 하나의 출력값에 여러 입력값이 대응될 수 있는 상황에서도 역함수가 성립한다고 판단했다.
계산보다 먼저 확인해야 했던 조건
역관계를 만들 때는 먼저 주어진 관계가 함수인지, 그리고 역으로 대응시켰을 때도 각 입력에 하나의 출력만 정해지는지 확인해야 한다. 특히 일대일 대응이 보장되지 않으면 x와 y의 역할만 바꾼 식은 역함수의 식이 될 수 없다.
- 주어진 관계에서 입력과 출력의 역할을 구분한다.
- 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는지 확인한다.
- 일대일 대응이 성립하는 조건을 찾는다.
- 그 조건이 확인된 뒤에만 x와 y를 바꾸어 정리한다.
- 완성한 식을 원래 관계와 합성하여 확인한다.
이 학생은 처음에 조건을 읽은 뒤 일대일 대응 여부를 따로 적지 않고 곧바로 x와 y를 교환했다. 이어서 y에 대해 정리한 식을 답으로 남겼지만, 원래 식에 대입했을 때 입력이 하나로 결정되는지, 관계를 다시 뒤집었을 때 처음 식으로 돌아오는지는 확인하지 않았다. 결국 등식이 계산상 정리되었을 뿐, 그 등식이 성립하는 이유와 사용한 조건이 풀이에 나타나지 않았다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 지점
역관계의 식을 변형하고 미지수에 대해 정리하는 계산은 가능하다. 다만 근거 설명을 요구하면 역함수가 성립하는 조건을 먼저 제시하지 못하고, 식의 모양만 보고 역함수라고 판단하는 경향이 남아 있다. 항과 계수가 포함된 식에서도 최종 답은 적을 수 있지만, 어떤 조건을 사용해 등식이 성립했는지 중간 과정에 표시하는 부분은 아직 불안정하다.
“x와 y를 바꾸면 역함수 식이 된다”가 아니라 “일대일 대응이므로 역관계를 함수로 만들 수 있고, 그 뒤 x와 y의 역할을 바꾼다”까지 설명해야 한다.
다음 날 빈 종이에서 다시 시작한 수정
해설을 본 직후 다시 쓰게 하지 않고 다음 날 빈 종이에 첫 단계부터 재풀이하게 했다. 먼저 구할 값과 주어진 조건을 나누어 적고, 역관계를 만들 수 있는 조건을 별도 줄에 기록하게 했다. 일대일 대응이 확인되지 않으면 식을 바꾸지 않고, 어떤 조건이 추가되어야 하는지 먼저 쓰도록 했다.
그다음 원래 관계의 입력과 출력을 표시한 뒤 x와 y를 교환하고, 정리한 식을 다시 원래 관계에 대입했다. 마지막에는 처음 입력으로 돌아오는지 확인하면서, 등식이 성립한 이유와 사용한 조건에 밑줄을 그었다. 단순히 식을 얻는 데서 끝내지 않고 “이 단계에서 일대일 조건을 사용했다”는 근거를 남기는 방식이다.
이후 숫자와 조건을 바꾼 문제에서는 곧바로 문자를 교환하지 않고, 먼저 대응이 일대일인지 확인했다. 일대일이 아닌 경우에는 역관계 식을 계산해 놓고도 역함수라고 쓰지 않았으며, 일대일 조건이 주어진 경우에는 조건을 적은 뒤 식을 정리하고 원래 식에 재대입했다. 수지고등학교 고1수학과외에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라, 역함수의 성립 조건을 첫 단계에서 판단하고 끝까지 검증하는 풀이 순서가 생겼다는 점이다.