수원여자고등학교 고1 수학과외에서 다룬 함수 판단의 최초 오류
수원여자고등학교 고1 수학과외에서는 누적된 범위의 문제를 계산 속도만으로 풀지 않고, 정의와 성질을 구분하며 조건·개념·식·계산 중 어디에서 처음 판단이 어긋났는지 확인한다. 특히 직선의 방정식과 인수분해를 연결한 문제를 시험 후반 제한시간에 풀 때에도 함수의 식을 계산하기 전에 입력과 출력의 대응관계를 먼저 살피는 데 초점을 둔다.
계산은 맞았지만 함수 판단에서 멈춘 장면
고등동과 연결된 학습 사례에서 한 고1 학생은 함수식에 값을 대입해 함수값을 구하는 문제는 비교적 안정적으로 해결했다. 그러나 시험 후반부의 함수 문제에서 식에 숫자를 대입해 출력값을 계산한 뒤, 각 입력값이 어떤 출력과 대응하는지는 따로 정리하지 않았다.
문제의 대응관계를 확인하는 과정에서 같은 입력에 출력이 둘 생기는 상황이 제시되었지만, 학생은 계산된 값이 각각 맞는지부터 확인했다. 계산 자체는 맞았기 때문에 그 관계를 함수라고 판단했고, 결국 함수의 정의에 어긋나는 답을 선택했다. 최초 오류는 계산 단계가 아니라 입력 하나에 출력이 몇 개 대응하는지 확인하지 않은 개념 판단 단계에서 발생했다.
입력값을 계산하는 것과 그 입력이 함수의 조건을 만족하는지는 별도로 확인해야 한다.
현재 가능한 부분과 흔들리는 조건
주말 누적복습에서 학생은 함수의 식에 입력값을 대입하고 출력값을 계산할 수 있다. 직선의 방정식에서도 식을 정리하거나 인수분해된 식에 값을 넣는 과정은 수행한다. 하지만 문제 형식이 표, 대응 그림, 그래프처럼 바뀌거나 시험 후반처럼 시간이 부족해지면 계산을 먼저 시작하는 습관이 다시 나타난다.
따라서 현재는 함수식 계산은 가능하지만, 입력과 출력의 대응관계를 문제 상황과 연결하는 힘은 문제마다 안정적이지 않다. 같은 입력에 출력이 둘 생기는지, 모든 입력이 하나의 출력과 연결되는지를 식 계산과 분리해 확인해야 한다.
표로 대응관계를 먼저 확인하는 수정 과정
수정할 때는 문제의 식을 바로 계산하지 않고 입력값과 출력값을 두 열로 나누어 표를 만들게 했다. 각 입력을 한 번씩 적은 뒤 출력이 몇 개 연결되는지 표시하고, 하나의 입력에 출력이 둘 이상이면 함수가 될 수 없다는 조건을 먼저 말하게 했다.
그 다음에야 직선의 방정식에 입력값을 대입하고, 인수분해된 식의 값을 계산했다. 계산 결과가 맞더라도 대응관계가 함수의 정의와 맞는지 다시 확인했다. 그래프 표현으로 바꾼 경우에는 세로선이 같은 입력 위치에서 그래프와 여러 번 만나는지 살펴 식으로 판단한 결과와 일치하는지도 검증했다.
숫자와 표현을 바꾼 재적용
다음 문제에서는 입력값과 출력값의 숫자를 바꾸고, 식 대신 대응표와 그래프로 제시했다. 학생은 먼저 표에서 입력별 출력 개수를 세고, 함수 여부를 판단한 뒤 필요한 값만 계산했다. 그래프 문제에서도 세로선 검사를 통해 같은 입력에 출력이 둘 생기는 지점을 표시하고, 그 결과를 대응표와 대조했다.
이제는 시험 후반 제한시간에 식부터 계산하기보다 입력과 출력의 관계를 먼저 확인한다. 수원여자고등학교고1수학과외 학습에서도 직선의 방정식이나 인수분해가 포함된 문제를 함수의 정의와 연결해, 계산값뿐 아니라 그 값이 어떤 대응관계에서 나온 것인지 설명하는 풀이로 재적용하고 있다.