수택고등학교 고3수학과외에서 다룬 매개변수 실근 문제
수택동과 연결해 진행한 수택고등학교고3수학과외에서는 부등식, 미분, 그래프 개형을 따로 외우기보다 하나의 판단 흐름으로 묶어 매개변수에 따른 방정식의 실근 개수를 분석했다. 특히 학교 프린트의 준고난도 문제에서 특정 값 하나를 대입한 결과를 전체 경우에 적용하지 않도록 기준값을 먼저 찾는 데 초점을 맞췄다.
특정 값에 고정된 그래프가 전체 판단을 막은 장면
문제에서 매개변수가 포함된 방정식의 실근 개수를 물었을 때, 학생은 매개변수에 익숙한 값을 먼저 넣어 식을 계산하고 그때의 그래프 모양을 그렸다. 이후 같은 그래프가 매개변수 값이 달라져도 유지된다고 보고 실근 개수를 바로 결정하려 했다. 그러나 실제로는 매개변수에 따라 함수의 극대·극소의 높이와 그래프와의 교점 수가 달라질 수 있었다.
최초 오류는 매개변수의 기준값을 찾기 전에 한 사례를 전체 구간으로 일반화한 데 있었다. 도함수로 극값의 위치를 확인하거나 극값이 기준선과 만나는 조건을 세우지 않았기 때문에, 어느 값에서 그래프의 접점이 생기고 실근 개수가 변하는지 놓쳤다. 그 결과 한 구간에서는 실근이 세 개인데도 모든 매개변수 값에서 같은 개수라고 판단하는 오답으로 이어졌다.
기준값을 먼저 찾고 구간별로 실근을 세기
현재 학생은 매개변수가 들어간 방정식의 기본적인 계산과 그래프 해석은 가능하다. 다만 수능형 미적분 심화문제나 시간 제한이 있는 프린트 고난도에서는 값을 먼저 대입하는 익숙한 풀이로 돌아가 기준점 탐색이 늦어진다. 한 문제에 오래 머물 때도 어디까지 확인한 뒤 풀이를 중단하고 다시 읽을지 기준이 분명하지 않았다.
수정할 때는 반복되는 식을 새로운 문자로 치환한 뒤, 매개변수를 그래프의 높이나 위치를 결정하는 값으로 분리했다. 다음으로 도함수를 이용해 극값의 위치와 함수값을 확인하고, 극값이 기준선과 같아지는 조건을 기준값으로 정리했다. 기준값의 앞뒤에서 그래프와 수평선의 교점 개수를 나누어 적은 뒤, 끝점이나 접하는 경우를 별도로 확인했다.
- 반복되는 식을 새로운 문자로 치환한다.
- 도함수 부호와 극대·극소의 위치를 확인한다.
- 극값과 기준선이 같아지는 매개변수 기준값을 구한다.
- 기준값 전후의 구간에서 그래프 교점 수를 나눈다.
- 치환한 문자가 원래 변수의 조건을 만족하는지 마지막에 검증한다.
숫자와 조건을 바꾼 뒤 다시 적용한 과정
정답을 고친 뒤에는 같은 식을 그대로 반복하지 않고 매개변수의 숫자와 정의역 조건을 바꾼 새 문제로 재적용했다. 학생은 먼저 극값과 기준선을 표시하고, 그래프의 주요 점과 부호 정보를 남긴 다음 실근 개수를 구했다. 치환 결과만 보고 끝내지 않고 원래 변수로 돌아갔을 때 허용되는 값인지 확인해 잘못된 실근을 포함하지 않도록 했다.
다음 날에는 풀이 표시 없이 새 매개변수 문제를 제한시간 안에 풀었다. 초반에 특정 값을 대입하고 싶어질 때 기준값을 먼저 세우지 못하면 해당 문제를 잠시 중단하고 다음 문제로 넘어갔다. 이후 돌아와 도함수, 극값, 교점 수를 순서대로 재검토했으며, 계산으로 얻은 실근 개수와 그래프의 교점 개수가 일치하는지도 대조했다. 이러한 방식으로 수택고등학교 고3수학과외의 실전 풀이에서도 한 사례의 그래프를 전체 조건으로 확대하지 않고 매개변수 구간별 판단을 유지하도록 훈련했다.