지평고등학교 고1 수학과외: 경우를 나누어 세우는 첫 식
지평고등학교 고1 수학과외에서 학교 프린트의 경우의 수 문제를 다룰 때는 최종 숫자보다 처음 어떤 조건을 기준으로 식을 세웠는지가 중요하다. 한 고1 학생은 선택 조건이 여러 개 붙은 문제에서 가능한 경우를 단계별로 나눌 수 있었지만, 제외 조건이 추가되면 이미 센 경우와 빠진 경우를 구분하는 데 흔들렸다.
한 번에 세면서 시작된 중복 제거
학교 프린트 문제에서 학생은 먼저 선택 가능한 대상을 곱해 전체 경우를 계산했다. 이후 특정 조건을 만족하지 않는 경우를 빼려고 했지만, 앞 단계에서 이미 제외한 경우까지 다시 제외 경우에 포함시켰다. 계산식은 끝까지 이어졌지만 정상적으로 남아야 할 경우까지 빠지면서 실제 경우의 수보다 작은 답이 나왔다.
오류는 계산 중간이 아니라 제외 조건을 처리하는 순서에서 처음 발생했다. 학생은 ‘전체 경우’와 ‘제외할 경우’를 구분해 적지 않고 머릿속으로 한꺼번에 정리했다. 그래서 같은 경우가 어느 단계에서 빠졌는지 확인할 수 없었다.
전체 경우를 먼저 세고, 제외 조건별 경우를 따로 적은 뒤 같은 경우가 두 번 포함되었는지 확인한다.
현재 가능한 풀이와 아직 흔들리는 조건
선택 조건을 첫 번째, 두 번째 단계로 나누어 세우는 문제에서는 미지의 선택 수를 단계별로 정리할 수 있다. 그러나 조건이 하나 더 붙어 기존 경우를 제한하거나, 앞에서 제외한 경우와 겹치는 상황에서는 풀이 순서를 유지하지 못하고 마지막에 전체를 조정하려는 경향이 남아 있다.
따라서 답안을 작성할 때는 숫자만 제시하지 않고, 첫 식이 어떤 선택을 나타내는지, 각 단계에서 어떤 조건을 적용했는지, 제외한 경우가 앞 단계와 겹치는지를 문장과 식으로 함께 남기도록 했다.
전체와 제외 경우를 분리한 재적용
기존 오답은 처음부터 다시 계산하지 않고, 먼저 전체 경우를 단계별로 적었다. 다음으로 제외 조건 1에 해당하는 경우와 제외 조건 2에 해당하는 경우를 따로 표시했다. 두 제외 조건이 겹치는 경우는 별도로 세어 한 번만 빼도록 정리했다. 각 경우 옆에는 어떤 선택이 같아서 중복되는지 짧게 기록했다.
그 뒤 조건을 하나 추가한 숫자 변경 문제를 제시했다. 학생은 이전처럼 마지막에 한꺼번에 빼지 않고, 전체 경우를 세운 뒤 추가 조건이 영향을 주는 단계만 다시 표시했다. 이미 제외된 경우인지 확인한 후 식을 수정했고, 최종 답을 구한 다음 각 단계의 경우를 합산해 전체 수와 맞는지도 검산했다.
이제 지평고등학교 고1수학과외 학습에서는 조건이 바뀌어도 선택 순서를 먼저 세우고, 제외 조건을 단계별로 분리해 적는 행동이 나타나고 있다. 경우의 수 문제에서 답의 크기만 확인하는 것이 아니라 중복과 누락이 없는지 풀이 과정 자체를 점검하는 방향으로 바뀐 것이다.