소하고등학교 고2수학과외에서 다룬 합성함수와 역함수의 조건 연결
소하동과 연결되는 소하고등학교 고2수학과외 학습에서는 합성함수의 계산 순서와 역함수의 성립 조건을 따로 외우지 않고 하나의 흐름으로 묶어 정리했다. 기본적인 합성함수 계산은 가능했지만 식이 길어지면 눈에 먼저 들어오는 바깥 함수를 먼저 적용하는 경향이 나타났다.
바깥 식부터 계산하며 생긴 합성함수 오류
예를 들어 f(x)=x+2, g(x)=x^2-1일 때 (f∘g)(x)를 구하는 문제에서 먼저 f의 식을 적용해 x+2를 만든 뒤 제곱식에 대입하려 했다. 그러나 합성함수에서는 안쪽 함수인 g의 출력이 바깥 함수인 f의 입력으로 들어가므로, 먼저 g(x)=x^2-1을 계산하고 그 결과를 f에 넣어야 한다.
식이 길어진 문제에서는 괄호 안의 식을 안쪽 함수로 표시하지 않아 f(g(x))와 g(f(x))를 바꾸어 쓰기도 했다. 현재는 짧은 식의 합성은 맞힐 수 있지만, 여러 항이 포함되거나 역함수 조건까지 이어지면 적용 순서를 눈으로만 판단하는 부분이 흔들리고 있다.
다음 날 무표시 재풀이에서 드러난 역함수 조건 누락
다음 날 풀이 표시 없이 같은 유형을 다시 풀었을 때에는 역함수 식을 만드는 과정까지는 진행했지만, 정의역을 확인하지 않았다. 그 결과 일대일 대응이 보장되지 않는 구간까지 포함하여 실제로 역함수가 성립하지 않는 범위를 답에 넣었다.
이 오류는 단순한 계산 실수가 아니었다. 합성함수의 순서를 안정적으로 추적한 뒤에도 역함수의 정의역과 치역을 연결하지 않았고, 좌표와 거리 조건을 판단할 때처럼 필요한 조건과 충분한 조건을 구분하는 단계가 빠졌다. 어떤 조건이 성립하면 역함수가 존재할 수 있는지, 반대로 역함수가 존재한다고 해서 모든 구간에서 일대일 대응이 되는지를 나누어 확인해야 했다.
표와 반례로 조건을 다시 확인한 과정
수정할 때는 먼저 원함수의 정의역과 치역을 표로 적고, 각 입력값이 서로 다른 출력값으로 대응되는지 확인하게 했다. 그다음 역함수 식을 바로 정리하지 않고 다음 순서로 점검했다.
- 원함수의 입력 범위와 출력 범위를 구분한다.
- 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 가는지 확인한다.
- 일대일 대응이 깨지는 구간을 반례로 찾는다.
- 역함수의 정의역은 원함수의 치역이라는 점을 표시한다.
- 구한 역함수를 원식에 다시 대입하여 합성 결과가 항등함수가 되는지 검산한다.
예전에는 식을 만든 뒤 답의 범위를 한꺼번에 적었다면, 이제는 함수의 구간을 나누고 각 구간에서 일대일인지 먼저 판단한다. 특히 “이 조건이면 충분하다”와 “이 조건이 반드시 필요하다”를 구분하기 위해 조건을 만족하지만 결론이 성립하지 않는 반례도 직접 찾게 했다.
조건을 바꾼 문제에 재적용
교과서 문제를 그대로 반복하지 않고 함수의 식과 정의역을 바꾼 문제를 제시했다. 처음에는 f(x)=x^2의 전체 실수 범위에서 역함수를 구하려 했지만, x=1과 x=-1이 같은 값을 만든다는 반례를 확인한 뒤 정의역 제한 없이는 역함수가 존재하지 않는다고 수정했다.
이후 정의역을 x≥0으로 바꾼 문제에서는 입력과 출력의 범위를 표로 정리한 다음 역함수를 구했고, 원식에 재대입하여 결과를 확인했다. 합성함수 문제에서도 먼저 안쪽 함수에 밑줄을 긋고 그 출력이 바깥 함수의 입력이 되는 과정을 단계별로 적었다. 소하고등학교 고2수학과외 학습에서 목표로 한 변화는 계산 속도보다 식의 순서와 정의역 조건을 함께 관리하는 풀이 행동이었다.