성지고등학교 고1수학과외에서 다룬 해와 그래프의 연결
성지고등학교고1수학과외에서는 교과서 예제의 식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 그 해가 그래프에서는 어떤 교점으로 나타나는지까지 확인하는 방식으로 풀이를 바꾸고 있다. 방정식과 그래프를 각각 풀 수 있는 상태였지만, 두 결과가 같은 정보를 나타낸다는 점을 한 번에 연결하는 과정에서 풀이가 멈추는 장면이 나타났다.
표 자료 문제에서 처음 생긴 오류
표가 포함된 자료형 문제에서 먼저 표의 수치를 익숙한 방식으로 식에 대입하고 방정식의 해를 계산했다. 해 자체는 정확히 구했지만, 이어서 그래프의 교점 개수를 묻자 앞에서 구한 해를 교점 정보로 바꾸지 못했다. 방정식의 해를 구하는 과정과 그래프를 해석하는 과정을 별개의 문제처럼 처리했기 때문이다.
예를 들어 두 식의 교점을 구하는 문제라면 먼저 두 식의 값을 같게 놓아 f(x)=g(x)를 만든다. 이 방정식의 해는 두 그래프에서 y값이 같아지는 x좌표이므로, 해의 개수는 교점의 개수와 연결된다. 학생은 방정식의 해를 구한 뒤에도 그래프를 다시 처음부터 따로 읽으려 했고, 그 결과 계산으로 얻은 해와 교점의 의미를 답에 반영하지 못했다.
방정식의 해는 그래프가 만나는 x좌표이며, 해의 개수는 조건이 같을 때 교점의 개수와 대응한다.
현재 가능한 부분과 흔들리는 조건
기본적인 방정식 계산과 그래프 읽기는 각각 수행할 수 있다. 다만 표의 정보가 식으로 바뀌고, 식의 해가 다시 그래프의 위치·교점·변화로 해석되는 복합 문제에서는 중간 연결이 약하다. 특히 여러 경우를 표로 나누어 제시한 문제에서 표를 먼저 분류하지 않고 익숙한 계산부터 시작하는 경향이 있다.
유리식이 포함된 식에서는 전개를 먼저 하려는 행동도 확인됐다. 이때 공통인수를 확인하지 않은 채 식을 길게 전개하면 계산량이 늘고, 어떤 인수분해 공식을 사용할지 판단할 근거도 흐려진다. 식을 변형하기 전에는 전개가 필요한지, 공통인수를 묶거나 인수분해하는 편이 목적에 맞는지 먼저 정해야 한다.
오답 최초 지점부터 다시 구성하기
수정할 때는 답을 다시 계산하지 않고, 표가 포함된 문제에서 오답이 시작된 지점을 표시했다. 먼저 ‘주어진 조건’과 ‘구할 값’을 나눈 뒤, 표의 각 경우가 어떤 식에 대응하는지 적었다. 그다음 두 식의 교점을 묻는 문제라면 첫 식을 세운 이유를 문장으로 설명하고, f(x)-g(x)=0의 형태로 정리했다.
인수분해가 필요한 식에서는 공통인수를 먼저 확인하고 사용할 공식의 조건이 맞는지 점검했다. 인수분해한 뒤 얻은 각 해를 원래 식에 재대입해 분모가 0이 되는 값이나 문제의 범위에서 제외되는 값이 있는지도 확인했다. 이렇게 해야 계산된 해를 그대로 교점으로 세는 오류를 줄일 수 있다.
- 표의 조건을 경우별로 표시한다.
- 두 그래프의 같은 값을 나타내는 방정식을 먼저 세운다.
- 공통인수와 인수분해 가능 여부를 전개 전에 확인한다.
- 구한 해를 그래프의 x좌표와 교점 개수로 연결한다.
- 원래 식과 문제의 범위에 다시 대입해 해를 검산한다.
조건을 바꾼 문제에 재적용한 과정
다음 문제에서는 표의 숫자와 그래프의 식을 바꾸어 제시하고, 제한시간이 줄어든 상황에서도 조건 표시를 생략하지 않는지 확인했다. 이전처럼 숫자부터 계산하지 않고 표에서 경우를 나눈 뒤 식을 세웠으며, 방정식의 해를 구한 다음 그 해가 그래프에서 어느 x좌표에 해당하는지 표시했다.
또한 유리식 문제에서는 전개 목적을 먼저 말하게 했다. 공통인수가 있는 경우에는 이를 먼저 묶고, 인수분해 공식의 조건을 확인한 뒤 필요한 부분만 변형했다. 새 문제에서도 해를 구한 직후 그래프의 교점과 대응시키고, 제외해야 할 값을 다시 확인하는 행동이 이어지면서 식과 그래프를 별개로 처리하던 풀이가 점차 연결되고 있다.
성지고등학교 고1수학과외의 학습에서는 계산 결과 자체보다 그 결과가 그래프와 표에서 무엇을 의미하는지 설명하는 과정을 중심에 둔다.