계산보다 먼저 확인해야 할 지점
설악고등학교 수학과외에서 자주 다루는 장면 중 하나는 표와 자료가 함께 제시된 문제를 시험 후반에 푸는 경우다. 앞부분에서 경우를 나누어 적었지만, 떠오르는 순서대로 기록하다 보니 같은 경우가 두 번 들어가고 다른 경우 하나는 빠졌다. 이후 표의 값을 식에 대입하는 계산에서 단순 실수가 발생했고, 검산을 생략하면서 그 오류가 최종 서술형 답안까지 이어졌다.
이때 계산식만 다시 고치는 것은 충분하지 않다. 최초의 오류가 계산 단계인지, 경우를 분류하는 단계인지 구분해야 한다. 경우가 중복되거나 누락되었다면 계산을 모두 맞게 해도 전체 답은 달라진다.
표와 자료를 경우로 바꾸는 과정
표가 제시된 문제를 읽을 때는 곧바로 숫자를 식에 넣지 않고, 먼저 표의 행과 열이 무엇을 의미하는지 확인한다. 구해야 할 값과 조건에 따라 경우를 나눈 뒤 각 경우가 서로 겹치지 않는지, 가능한 상황을 모두 포함하는지 살핀다.
예를 들어 자료가 두 조건의 조합을 보여 준다면, 한 조건만 바꿔 가며 적는 방식보다 조합을 표로 표시하는 편이 안정적이다. 작성한 경우마다 표에서 근거가 되는 칸을 표시하고, 사용한 칸에는 체크를 남긴다. 마지막에는 체크되지 않은 칸이 남아 있는지 확인한다. 이 과정을 거치면 떠오르는 순서에 따라 적으면서 생기는 중복과 누락을 발견하기 쉽다.
경우를 나눈 뒤에는 “겹치는 경우는 없는가, 빠진 경우는 없는가, 표의 어떤 자료를 사용했는가”를 확인한다.
오답의 최초 지점을 추적하는 훈련
오답을 분석할 때 최종 계산값부터 해설과 비교하지 않는다. 문제의 조건에 표시를 하고, 학생이 처음 작성한 경우 목록을 원래 표와 대조한다. 여기서 경우의 분류가 올바르면 다음 식으로 이동하고, 분류가 틀렸다면 계산 과정은 잠시 보류한다.
계산 오류가 발견된 경우에도 단순히 답을 고쳐 쓰지 않고 해당 식에 표의 값을 다시 대입한다. 어느 줄에서 숫자가 달라졌는지 표시한 뒤, 그 오류가 최종 답에 어떤 영향을 주었는지 확인한다. 서술형에서는 정답만 수정하지 않고 ‘이 경우는 표의 어느 조건에 해당하는가’와 ‘왜 다른 경우와 겹치지 않는가’를 중간 근거로 남긴다.
시험 후반에도 유지할 풀이 선택 기준
현재는 여러 풀이를 이해하고 있어도 제한시간이 줄어들고 계산량이 길어지면 익숙한 방식으로 급히 돌아가는 모습이 나타난다. 따라서 풀이를 시작하기 전에 경우를 표로 정리할지, 식을 먼저 세울지 결정하는 기준을 간단히 정한다. 표의 자료가 여러 조합으로 연결된 문제라면 경우를 표로 정리하고, 조건이 적고 관계식이 분명한 문제라면 필요한 미지수와 식을 먼저 적는다.
한 문제에 오래 머물지 않기 위한 중단 기준도 함께 둔다. 일정 시간 동안 경우 분류가 정리되지 않으면 계산을 계속하지 않고, 구해야 할 값과 사용한 조건을 다시 표시한다. 이후 첫 경우만 다시 세워 보며 풀이를 재개한다. 이는 무작정 문제를 포기하는 것이 아니라 최초 선택을 점검한 뒤 재도전하는 절차다.
재풀이에서 확인된 변화
수정 후에는 같은 숫자의 문제만 반복하지 않고 표의 조건이나 자료값을 바꾼 변형문제로 다시 확인한다. 처음에는 경우를 적은 뒤 바로 계산하려 했지만, 재풀이에서는 각 경우에 해당하는 표의 칸을 표시하고 중복 여부를 먼저 확인했다. 계산이 끝난 뒤에는 표에 남은 칸이 없는지 살피고, 원래 조건을 답에 다시 대입했다.
설악고등학교수학과외 학습에서는 이처럼 틀린 계산을 고치는 데서 멈추지 않고 최초로 잘못 선택한 조건이나 개념을 찾아간다. 시험 후반에도 풀이를 시작하기 전 분류 기준을 세우고, 마지막 답만 보는 대신 경우 목록과 표의 자료가 일치하는지 확인하는 행동이 남도록 하는 데 초점을 둔다.