숫자를 대입해 맞는 것처럼 보였던 도형 문제
산본동에서 내신 대비를 시작한 한 학생은 도형 변형문제에서 한두 숫자를 직접 대입해 식이 성립하자 그 결론을 일반적으로 맞다고 판단했다. 그러나 조건 중 하나를 바꾼 반례를 넣자 같은 식이 더 이상 성립하지 않았다. 계산이 틀린 것이 아니라, 특정 숫자에서 확인된 결과를 모든 경우에 적용한 것이 오답의 출발점이었다.
이런 문제에서는 숫자를 먼저 넣기보다 문제 속 대상이 무엇인지 확인해야 한다. 선분의 길이인지, 두 각의 관계인지, 특정 조건을 만족하는 도형인지에 따라 적용할 정의와 성질이 달라진다. 조건마다 표시를 남긴 뒤, 어떤 조건이 어떤 대상과 연결되는지 문장으로 설명해야 식이 단순한 나열에 머물지 않는다.
식보다 먼저 남겨야 하는 풀이의 이유
현재 학생은 기본적인 도형 조건을 표시하는 데에는 가능하지만, 여러 조건이 함께 주어지면 어느 것부터 연결해야 할지 결정하는 데 시간이 걸린다. 그래서 풀이 과정에 식은 적혀 있어도 ‘왜 이 식을 세웠는가’가 빠지는 경우가 있었다.
예를 들어 어떤 도형의 두 선분이 같다는 조건을 사용한다면, 바로 숫자를 대입하는 대신 “주어진 정의에 따라 이 두 선분의 관계를 식으로 나타낸다”라고 적는다. 이어서 새롭게 얻은 관계가 다음 식에 어떻게 쓰이는지 설명한다. 각 단계의 이유를 한 문장씩 남기면 조건을 빠뜨렸는지, 정의가 아닌 다른 성질을 임의로 사용했는지 확인하기 쉬워진다.
특정 숫자에서 성립하는지보다, 문제의 모든 조건을 사용해도 같은 결론이 유지되는지를 확인한다.
막힌 문제를 표시하는 것에서 재풀이 일정까지
이전에는 문제집 진도를 맞추기 위해 막힌 문제에 표시만 하고 다시 풀 날짜를 정하지 않았다. 그러면 해설을 본 순간에는 이해한 것 같아도, 며칠 뒤 숫자나 조건이 바뀐 변형문제에서 첫 접근을 다시 찾지 못했다.
산본고등학교 수학과외에서는 표시의 의미를 ‘다시 볼 문제’에서 끝내지 않고 최초 오류를 확인할 문제로 바꾼다. 막힌 도형 문제에는 다음 세 가지를 함께 기록한다.
- 처음 사용한 조건과 사용하지 않은 조건
- 정의 또는 성질을 선택한 이유
- 결론을 깨뜨릴 수 있는 반례나 조건 변경
해설을 덮은 뒤 정한 날짜에 다시 풀 때는 숫자를 그대로 외워 재현하지 않는다. 도형의 조건 일부를 바꾸거나 구해야 할 대상을 바꾸어도 같은 정의를 선택할 수 있는지 확인한다. 한두 값의 대입으로 끝난 풀이에는 다른 값을 넣어 보고, 결론이 유지되지 않으면 어느 단계에서 일반화가 잘못되었는지 표시한다.
변형문제에서 확인되는 실제 변화
수정 후에는 풀이를 시작하기 전에 도형의 대상과 조건을 먼저 구분하고, 연결할 조건을 하나 선택한 뒤 그 이유를 문장으로 남기는 흐름이 나타난다. 이전처럼 숫자 두 개를 대입해 성립 여부만 확인하지 않고, 사용하지 않은 조건이 남아 있는지 살핀다.
다음 날 빈 종이에서 같은 문제를 다시 풀 때도 해설의 식을 그대로 복사하지 않고 정의를 먼저 적었다. 조건을 바꾼 문제에서는 처음에는 시간이 걸렸지만, 특정 계산 결과가 아니라 문제 속 대상에 직접 정의를 적용해 풀이를 시작했다. 산본고등학교 수학과외에서 확인할 변화도 정답 개수만이 아니라, 반례를 넣어 결론을 점검하고 각 단계의 필요성을 설명하는 행동에 있다.