분당고등학교 고1 수학과외에서 다룬 명제의 조건 해석
고등학교 교과서 문제를 처음 접한 이 학생은 명제의 참과 거짓 자체는 판단할 수 있었다. 하지만 직선의 방정식과 합성 관계가 함께 제시된 변형문제에서는 가정과 결론을 나누기 전에 참·거짓부터 정했다. 그 결과 어떤 조건을 사용했고, 무엇을 검증했는지 풀이에 남기지 못했다.
가정과 결론을 나누기 전 발생한 오류
예를 들어 “두 직선의 방정식이 같으면 두 직선의 기울기와 절편은 각각 같다”라는 명제를 다룰 때, 먼저 다음처럼 구조를 적어야 한다.
- 가정: 두 직선의 방정식이 같다.
- 결론: 두 직선의 기울기와 절편이 각각 같다.
그러나 처음 풀이에서는 가정과 결론을 뒤바꾼 채 기울기만 비교하고 참이라고 판단했다. 반례를 확인할 때도 결론의 일부만 깨지는 값을 넣어 명제 전체를 반박했다고 보았다. 실제로는 두 직선의 식 전체가 같은지, 기울기와 절편이 모두 일치하는지를 확인해야 한다.
명제의 참·거짓을 먼저 정하는 것이 아니라, 무엇을 가정하고 무엇을 결론으로 요구하는지 식으로 분리한 뒤 검증한다.
직선의 방정식과 조건을 연결한 풀이
분당고등학교 고1수학과외에서는 직선의 방정식이 합성 관계와 함께 나왔을 때 모든 정보를 계산에 넣지 않고 필요한 조건만 선택하는 연습을 진행했다. 예를 들어 두 함수가 합성 관계를 만족한다는 조건이 주어졌다면, 먼저 구해야 할 값이 직선의 기울기인지 절편인지, 또는 두 식의 관계 자체인지 구분했다.
직선 y=ax+b와 y=2x+3가 같다는 조건에서는 좌변과 우변의 모든 항을 무작정 계산하지 않고, 일차식의 계수 비교를 사용한다. 따라서 가정인 ‘두 직선의 방정식이 같다’에서 기울기 a=2, 절편 b=3을 얻고, 마지막에는 이 값을 원래 식에 다시 넣어 두 방정식이 실제로 일치하는지 확인한다.
합성 관계가 포함된 문제에서도 먼저 조건과 구할 값을 분리했다. 예를 들어 f(x)=2x+1, g(x)=x-3일 때 f(g(x))를 구한다면, 안쪽 함수 g(x)를 먼저 대입하고 그 결과를 f에 넣는다.
- g(x)=x-3
- f(g(x))=2(x-3)+1=2x-5
- 원래 합성식에 다시 대입해 순서를 바꾸지 않았는지 확인
처음에는 합성의 순서를 바꾸어 g(f(x))를 계산하고도 같은 관계라고 판단했다. 수정할 때는 ‘안쪽 함수’, ‘바깥 함수’를 각각 표시하고, 계산 직후 원래 요구한 합성식과 결과의 입력 순서를 대조했다.
반례를 명제에 맞게 사용하는 과정
명제가 항상 성립하는지 확인하는 문제에서는 가정에 맞는 값을 먼저 골랐다. “두 직선의 기울기가 같으면 두 직선의 방정식이 같다”라는 명제라면 기울기는 같지만 절편이 다른 두 식을 설정한다.
y=2x+1, y=2x+4는 기울기가 모두 2이지만 절편이 다르므로 두 직선의 방정식은 같지 않다. 이 반례는 ‘기울기가 같으면 식 전체가 같다’는 결론을 깨뜨린다. 반례를 적은 뒤에는 가정이 만족되었는지와 결론이 거짓이 되는 지점을 문장으로 설명하게 했다.
다음 날에는 숫자를 바꾼 문제를 빈 종이에 다시 풀었다. y=-x+2, y=-x-5를 비교할 때도 먼저 기울기 조건은 만족하지만 절편 조건은 만족하지 않는다고 적은 뒤, 명제가 거짓인 이유를 결론과 연결했다. 이제는 참·거짓을 먼저 표시하기보다 가정과 결론을 나누고, 필요한 조건만 선택해 식을 세운다.
분당고등학교 고1수학과외에서 확인한 변화는 새 합성 관계 문제에서도 나타났다. 학생은 계산을 시작하기 전에 조건과 구할 값을 표시하고, 직선의 계수 비교가 필요한지 합성 순서 확인이 필요한지 먼저 정한다. 마지막에는 원래 식에 재대입하거나 반례가 실제 결론을 깨뜨리는지 확인하며 풀이를 마무리한다.