상동고등학교 고3수학과외에서 다룬 매개변수 기준점 판단
상동고등학교고3수학과외에서는 준고난도 문항을 풀 때 특정 매개변수 값을 먼저 대입해 결론을 내리는 습관부터 점검했다. 이 학생은 바깥함수와 안쪽함수를 나누어 합성함수를 미분하는 계산 자체는 가능했지만, 매개변수 값에 따라 그래프의 극값과 실근 개수가 달라지는 기준을 먼저 찾는 데 시간이 걸렸다.
한 값을 전체 조건으로 확장한 오답
문제에서 매개변수가 포함된 함수의 실근 개수를 묻자 학생은 임의의 한 값을 먼저 넣고 그래프 모양을 그렸다. 이어 그 그래프가 다른 매개변수 구간에서도 그대로 유지된다고 판단했다. 실제로는 합성함수를 미분한 뒤 도함수의 부호가 바뀌는 지점과 극값의 높이가 매개변수에 따라 달라졌지만, 학생은 바깥함수와 안쪽함수의 미분 순서를 적용한 식만 계산하고 기준이 되는 매개변수 값을 찾지 않았다.
그 결과 그래프의 교점 수가 바뀌는 순간을 놓쳤고, 실근 개수를 한 구간의 모양으로 전체 구간에 일반화했다. 준고난도 문제에서 한 값에 오래 머무르며 계산을 이어 간 것도 원인이었다. 풀이 초반에 매개변수의 기준점을 찾지 못하면 중단하고 식과 그래프를 다시 대조해야 했지만, 끝까지 같은 방향으로 밀어붙여 최종 답을 잘못 선택했다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
현재는 합성함수에서 바깥함수와 안쪽함수를 분리하고, 안쪽함수를 먼저 미분한 뒤 바깥함수의 미분값을 곱하는 단계적 계산은 수행한다. 따라서 매개변수 문제의 기본 미분식은 세울 수 있다. 다만 6월·9월 모의평가형 문제처럼 값에 따라 극값과 실근 개수가 달라지는 문항에서는 기준 매개변수를 찾기 전에 특정 값을 대입하는 처리방식이 다시 나타난다.
특히 시험 후반에 한 문항에 오래 머무르면 그래프의 변화 조건보다 계산값을 먼저 확정하려는 경향이 있다. 그래서 상동고등학교 고3수학과외에서는 한 값의 결과를 구한 뒤 곧바로 전체 조건으로 확대하지 않고, 매개변수 구간을 나누는 기준이 무엇인지 먼저 표시하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
식의 반복을 줄이고 기준을 다시 확인하는 훈련
- 반복되는 식은 새로운 문자로 치환해 그래프의 변화가 어느 값에서 시작되는지 찾는다.
- 바깥함수와 안쪽함수를 분리한 뒤 도함수의 부호와 극값의 위치를 단계별로 확인한다.
- 극값이 기준선과 만나는 조건을 세워 실근 개수가 바뀌는 매개변수 값을 구한다.
- 구간별로 그래프와 식을 대조하고, 한 구간의 결과를 다른 구간에 그대로 적용하지 않는다.
- 치환한 문자를 원래 변수로 되돌릴 수 있는 정의역과 조건을 마지막에 별도로 검증한다.
이후 숫자와 매개변수 조건을 바꾼 새 문제에서는 특정 값을 먼저 넣지 않고, 도함수와 극값 조건을 먼저 표시했다. 그래프가 기준선과 만나는 매개변수 값을 구한 다음 구간을 나누고, 각 구간의 실근 개수를 따로 확인했다. 마지막에는 내신 자료와 모의평가형 문제에서 같은 합성함수 미분 개념이 사용되는지 비교하며, 풀이가 계산에만 머물지 않았는지 검산했다.