역함수의 식보다 먼저 확인해야 할 대응과 범위
양주고등학교고2수학과외에서 다룬 핵심은 역함수의 식을 빠르게 만드는 것보다 함수가 일대일 대응을 이루는지, 그리고 정의역과 치역이 어떻게 바뀌는지를 끝까지 관리하는 과정이었다. 역함수 식 자체는 구할 수 있지만, 조건이 숫자나 표현만 바뀌면 기존 공식에 의존해 판단하는 경향이 나타났다.
예를 들어 유리함수의 식을 정리한 뒤 학생은 x와 y를 먼저 바꾸고 역관계의 식을 구했다. 그러나 원래 식에서 분모가 0이 되는 값을 따로 표시하지 않아 정의역에서 제외해야 할 값을 놓쳤고, 그 결과 점근선의 위치도 잘못 그렸다. 식의 변형은 맞았지만 일대일 대응 여부와 정의역·치역을 확인하지 않은 것이 최초 오류였다.
숫자가 바뀐 역함수 문제에서 드러난 풀이 습관
해설을 가린 상태에서 계수와 상수를 바꾼 문제를 제시하자, 학생은 앞 문제의 절차처럼 x와 y를 곧바로 교환했다. 이후 정의역과 치역을 확인하려 했지만, 문제의 함수가 실제로 일대일 대응인지 먼저 판단하지 않아 역함수의 존재조건을 뒤늦게 검토했다. 역함수 식은 완성했지만 어느 구간을 정의역으로 삼아야 하는지와 역함수의 치역이 무엇인지 설명하는 단계에서 멈췄다.
현재는 기본적인 역함수 계산과 간단한 로그 식의 변형은 가능하다. 다만 함수의 대응 관계, 정의역·치역, 분모 조건을 한 번에 연결해야 하는 문제에서는 계산을 먼저 끝낸 뒤 조건을 확인하는 방식으로 흔들린다. 특히 숫자를 바꾼 문제에서 이전 문제의 기준을 그대로 적용하지 않고, 새 함수의 조건을 처음부터 다시 세우는 훈련이 더 필요하다.
수정 과정과 새 문제 적용
- 유리함수의 분모가 0이 되는 값을 가장 먼저 표시한다.
- 제외된 값으로 정의역을 정리하고, 그래프의 수직 점근선 위치를 식과 대조한다.
- 함수의 일대일 대응 여부를 확인한 뒤 x와 y를 교환한다.
- 역관계의 식을 구한 다음 원래 함수의 정의역과 역함수의 치역이 서로 대응하는지 확인한다.
- 그래프를 그릴 때 식에서 얻은 점근선과 실제 곡선의 위치가 일치하는지 검산한다.
이후 숫자를 바꾼 유리함수와 로그 함수 문제를 연속해서 제시하고, 직전 문제의 공식에 끌리지 않는지 확인했다. 새 문제에서는 먼저 분모 조건과 정의역을 적은 뒤 일대일 대응을 판단하고, 그 다음에 역관계의 식을 작성했다. 마지막에는 원래 함수와 역함수의 정의역·치역을 서로 대조해 식만 맞는 풀이와 조건까지 갖춘 풀이를 구분했다.
양주고등학교 고2수학과외에서는 이러한 순서를 반복해, 역함수 문제를 계산 결과만으로 끝내지 않고 존재조건과 그래프 조건까지 검증하는 풀이로 바꾸고 있다.