부명고등학교 고2수학과외에서 다룬 역함수의 조건과 합성함수 순서
부명고등학교 고2수학과외에서는 유리함수 문제를 식의 변형만으로 끝내지 않고, 함수가 실제로 성립하는 범위와 풀이를 검산하는 방법까지 함께 관리하도록 했다. 특히 학교자료 재풀이에서 합성함수의 안쪽 함수와 바깥 함수의 적용 순서를 자주 뒤집는 점이 핵심 문제였다.
바깥 식부터 계산하며 생긴 오답
직선과 도형의 관계를 함수로 나타낸 뒤 (f∘g)(x)를 구하는 문제에서 학생은 식에 먼저 보이는 바깥 함수 f부터 계산했다. 실제로는 g(x)를 먼저 구해 그 출력값을 f의 입력으로 넣어야 하지만, 풀이 과정에서 두 단계를 한 줄에 합치면서 입력값의 출처가 흐려졌다.
이어 역함수 식을 구하는 문제에서는 식을 x에 대해 정리한 뒤 답을 확정했다. 그러나 원래 함수가 일대일 대응인지, 정의역을 제한했을 때 치역이 어떻게 정해지는지 확인하지 않았다. 그 결과 역함수가 성립하지 않는 구간까지 포함한 식을 답으로 제시했다. 방정식의 해 자체는 계산했지만, 그 해가 주어진 함수의 조건 안에서 가능한지 검산하지 않은 것이다.
풀이 전에 조건을 표로 분리하기
수정할 때는 역함수 식을 바로 만들지 않고 다음 세 항목을 먼저 적게 했다.
- 원래 함수의 정의역과 치역
- 구간 안에서 일대일 대응이 성립하는지
- 역함수의 정의역이 원래 함수의 치역과 일치하는지
그 다음 y=f(x)에서 x와 y를 바꾸고 정리한 뒤, 만들어진 역함수를 원래 함수에 다시 대입했다. f(f⁻¹(x))=x와 f⁻¹(f(x))=x가 각각 어느 범위에서 성립하는지 확인하면서 단순히 식을 얻는 것과 함수로서 역함수가 존재하는 것을 구분했다.
합성함수는 풀이 옆에 ‘안쪽 입력 → 중간 출력 → 바깥 출력’의 세 칸을 만들었다. 예를 들어 g(x)를 먼저 계산하고, 그 결과를 f에 넣어 f(g(x))를 완성하게 했다. 직선의 좌표나 도형의 길이가 함수 입력으로 바뀌는 문제에서도 각 단계의 출력이 다음 단계의 입력이 되는지 표시하도록 했다.
계산량보다 검산 가능성을 함께 비교하기
시험 후반에는 식을 전개해 한 번에 처리하는 풀이와 합성 과정을 나누어 계산하는 풀이를 비교했다. 전개형은 계산량이 적을 수 있지만 안쪽과 바깥쪽을 바꾸었을 때 오류를 찾기 어렵고, 단계형은 줄 수가 늘어나도 각 출력값을 확인하기 쉬웠다. 따라서 문제의 식이 짧을 때는 전개 후 대입을 선택하되, 정의역 제한이나 도형 조건이 붙으면 단계형 풀이를 선택하게 했다.
식이 맞는지뿐 아니라 어떤 조건에서 성립하는지, 틀렸을 때 어느 단계에서 오류를 찾을 수 있는지를 기준으로 풀이를 선택한다.
주말 누적복습에서는 이전처럼 눈에 먼저 보이는 바깥 식을 계산하는지 확인하지 않고, 표시 없이 새 문제를 풀게 했다. 이후 숫자와 정의역을 바꾼 문제에서는 먼저 일대일 대응 여부를 판단하고, 합성함수의 안쪽 출력을 따로 적은 뒤 역함수와 원식의 대입 검산까지 진행했다. 부명고등학교 고2수학과외의 재적용 과정에서는 정답만 맞힌 것보다 문제의 조건이 바뀌었을 때 식과 검산방법을 함께 바꾸는지를 학습 기준으로 삼았다.