백양고등학교 고1수학과외에서 확인한 절댓값 기준점 풀이
백양고등학교 고1수학과외에서는 절댓값 문제를 풀 때 계산 속도보다 절댓값 안의 식이 0이 되는 기준점을 먼저 찾는 과정을 우선 확인했다. 기본 성질은 알고 있었지만 기준점이 여러 개이면 한 식으로 밀어붙이며 구간을 빠뜨리는 풀이가 나타났다.
기준점을 생략하면서 생긴 오답
학교자료의 절댓값 문제를 다시 풀 때 이 학생은 절댓값 안의 식을 바로 전개해 하나의 식처럼 정리했다. 그러나 절댓값 안의 식이 0이 되는 값들을 먼저 표시하지 않아 수직선의 구간이 나뉘지 않았고, 특정 구간에서 절댓값의 부호가 달라지는 사실을 반영하지 못했다. 계산된 해 자체는 식에 들어갔지만 해당 구간의 조건을 만족하지 않아야 하거나, 반대로 다른 구간에서 나오는 해를 빠뜨리는 결과가 되었다.
절댓값 안에 식이 세 개 이상 제시된 문제에서는 이 문제가 더 분명했다. 구할 값과 문제의 조건을 구분하지 않은 채 앞의 식부터 계산했으며, 풀이가 끝난 뒤 사용하지 않은 조건이 남았는지도 확인하지 않았다. 따라서 기준점 여러 개를 순서대로 배열하고 각 구간을 나누는 단계가 현재 가장 흔들리는 부분이다.
현재 가능한 것과 흔들리는 조건
절댓값의 기본 성질을 적용해 기준점이 하나인 문제는 풀 수 있다. 하지만 기준점이 여러 개 생기면 어느 구간에서 절댓값 안의 식이 양수인지 음수인지 판단하는 순서가 바뀌고, 교과서 예제를 변형한 문제에서는 같은 방식으로 식을 옮기기 어렵다.
특히 조건을 변경한 문제에서 근호 안의 조건을 확인하지 않거나 제곱 과정에서 생길 수 있는 불필요한 해를 그대로 답으로 남기는 경향도 함께 점검했다. 절댓값의 경우 분류와 근호의 정의역, 제곱 뒤 원래 식 재대입은 서로 다른 확인 절차이므로 각각 표시하게 했다.
수정한 풀이 순서
- 절댓값 안의 각 식을 0으로 놓고 기준점을 먼저 구한다.
- 기준점을 수직선에 배열해 구간을 만든다.
- 각 구간에서 절댓값 안의 식이 양수인지 음수인지 확인한 뒤 식을 바꿔 적는다.
- 구간 조건을 붙인 상태로 방정식을 풀고, 구한 해가 해당 구간에 들어가는지 대입한다.
- 조건이 세 개 이상이면 핵심조건과 보조조건을 나누고, 풀이 후 사용하지 않은 조건이 남았는지 확인한다.
- 근호가 포함된 조건 변경 문제는 근호 안의 조건을 먼저 적고, 제곱한 뒤에는 원래 식에 다시 대입해 불필요한 해를 제거한다.
단순히 틀린 답을 고치는 대신, 기준점을 찾지 않고 한 번에 풀었던 상황의 숫자와 식을 바꿔 다시 제시했다. 이틀 뒤에는 표시가 없는 문제지를 주고 기준점, 구간, 구간별 식을 스스로 적게 했다. 새 문제에서도 먼저 기준점을 찾은 뒤 수직선에 구간을 나누고, 마지막에 모든 조건과 원래 식을 대조하는지가 확인 기준이었다.
절댓값 문제의 답을 구하는 것보다 먼저, 어느 구간에서 어떤 식으로 바뀌는지를 기록하는 풀이가 필요하다.
이 과정을 거친 뒤에는 계산부터 시작하지 않고 기준점을 적은 다음 경우를 나누는 행동이 나타났다. 조건이 바뀐 문제에서도 근호의 조건과 제곱으로 생긴 해를 따로 확인하며, 사용하지 않은 조건이 남았는지 점검하는 단계까지 풀이에 포함하고 있다.