도당고등학교고1수학과외, 경우의 수를 세는 기준 세우기
도당고등학교 고1 수학과외에서는 교과서 예제를 그대로 외우기보다, 문제의 선택조건을 단계별로 나누어 식의 근거가 드러나는 답안을 만드는 데 초점을 둔다. 특히 시험 직전에는 교과서 예제의 숫자만 바꾼 변형문제를 점검하며, 전체 경우와 제외할 경우가 서로 겹치는지 확인해야 한다.
조건을 한 번에 처리하다가 생긴 오답
한 고1 학생은 여러 선택조건이 제시된 경우 먼저 가능한 전체 경우를 계산한 뒤, 마지막 줄에서 제외조건을 한꺼번에 빼는 방식으로 풀이했다. 처음에는 선택조건을 단계별로 나누려 했지만, 제외조건이 추가되자 이미 앞 단계에서 제외한 경우를 다시 빼기 시작했다.
풀이 흐름은 다음과 같았다. 전체 선택 경우를 구한 뒤 첫 번째 제외조건에 해당하는 경우를 빼고, 두 번째 제외조건에 해당하는 경우도 뺐다. 그런데 두 번째 제외조건 안에는 첫 번째 단계에서 이미 제외한 경우가 포함되어 있었다. 학생은 이 중복을 확인하지 않고 다시 빼면서 정상적으로 남아 있어야 할 경우까지 제거했다.
전체 경우 계산 → 제외조건을 한꺼번에 적용 → 이미 뺀 경우를 다시 제외 → 실제 경우의 수보다 작은 답
오답노트에는 계산 결과만 적혀 있어 최초 오류가 드러나지 않았다. 문제는 마지막 뺄셈의 숫자가 아니라, 각 조건에 해당하는 경우를 어느 단계에서 세었는지 표시하지 않은 데 있었다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
현재는 선택 대상을 단계별로 나누어 곱셈 또는 덧셈의 구조를 세울 수 있다. 예를 들어 첫 번째 선택을 기준으로 경우를 나누고, 각 경우에서 가능한 두 번째 선택을 연결하는 방식은 안정적으로 적용한다.
다만 제외조건이 둘 이상 등장하면 이미 센 경우와 새로 제외할 경우의 교집합을 다시 확인하지 못한다. 시험 직전에도 ‘교과서 예제 변형’이라는 점을 따로 표시하지 않아, 숫자와 조건의 위치가 바뀌면 익숙한 풀이를 그대로 적용하는 경향이 나타났다.
따라서 답만 맞히는 것보다 다음 네 가지를 풀이 첫 부분에 분리해 적도록 했다.
- 전체 경우는 무엇인지
- 선택조건별로 나눈 기준은 무엇인지
- 제외할 경우는 어느 단계에서 이미 처리되었는지
- 최종적으로 남는 경우를 어떻게 검산할 것인지
전체 경우와 제외 경우를 따로 표시한 수정 과정
먼저 문제에서 구할 값을 ‘조건을 만족하는 전체 선택의 수’로 적고, 선택조건을 한 번에 계산하지 않도록 단계별 표를 만들었다. 각 행에는 첫 번째 선택 기준을, 각 열에는 두 번째 선택 기준을 적었다. 조건을 만족하지 않는 칸은 표시하되, 이미 표시된 칸을 다른 제외조건에서 다시 세지 않도록 별도의 기호를 사용했다.
그다음 제외조건을 적용할 때에는 ‘새롭게 제외되는 경우’만 세도록 했다. 두 제외조건이 겹치는 부분은 교집합으로 표시하고, 전체에서 각각을 뺄 때 겹친 부분을 어떻게 처리했는지 식 옆에 짧게 설명하게 했다. 이 과정에서 첫 식을 세운 이유와 각 뺄셈의 대상을 말로 설명하도록 하자, 정상적인 경우까지 함께 제외하는 장면이 줄었다.
오답의 최초 지점도 따로 표시했다. 단순히 ‘계산이 틀림’이라고 쓰지 않고, ‘두 번째 제외조건을 셀 때 첫 번째 제외조건과 겹치는 경우를 새 경우로 착각함’이라고 적었다. 이후 숫자와 제외조건의 위치를 바꾼 교과서 예제 변형을 제시해 같은 표와 식을 다시 작성하게 했다.
새로운 조건에서의 재적용
변형문제에서는 선택 대상의 수와 제외조건을 바꾸었다. 학생은 이전처럼 전체 수에서 제외조건을 연속으로 빼지 않고, 먼저 선택 기준을 나누어 각 단계의 경우를 적었다. 이후 첫 번째 제외조건, 두 번째 제외조건, 두 조건에 동시에 해당하는 경우를 구분해 이미 센 경우가 다시 포함되었는지 확인했다.
마지막에는 각 단계의 경우를 더한 값이 전체 경우를 넘지 않는지, 제외한 뒤의 값이 각 조건에 맞는 범위에 있는지 검산했다. 숫자가 달라져도 ‘전체 경우 작성 → 제외조건 분리 → 중복 확인 → 남은 경우 계산’ 순서를 유지하면서, 경우의 수 답안에 중간 조건과 식의 근거가 함께 나타나기 시작했다.