저현고등학교 고1 수학, 함수의 식보다 대응관계부터 점검하기
저현고등학교고1수학과외에서 확인한 이 학생의 변화는 식을 계산하는 능력과 그 식이 나타내는 관계를 설명하는 능력이 서로 다르게 나타난다는 점이었다. 식의 전개 문제에서는 전개 과정과 답을 맞혔지만, 맞힌 근거를 말하게 하면 함수 문제에서도 숫자와 식부터 계산하는 풀이가 먼저 나왔다.
함수값은 맞았지만 함수 판단은 틀린 장면
예를 들어 입력과 출력의 대응이 다음과 같이 제시된 문제에서 학생은 각 입력에 대응하는 값을 계산하는 과정은 정확히 처리했다.
- 입력 1에는 출력 3과 5가 대응됨
- 입력 2에는 출력 4가 대응됨
학생은 출력값을 확인한 뒤 “값이 계산되었으므로 함수”라고 판단했다. 그러나 함수인지 판단할 때 먼저 확인해야 하는 것은 출력값의 개수가 아니라 하나의 입력에 출력이 몇 개 대응하는지이다. 입력 1에 출력 3과 5가 동시에 연결되어 있으므로 이 관계는 함수가 아니다.
최초 오류는 계산 결과가 아니라 조건을 읽는 단계에서 발생했다. 학생은 함수값을 구하는 식은 사용할 수 있었지만, 함수의 정의인 ‘각 입력에 오직 하나의 출력이 대응한다’는 기준을 문제의 대응표에 적용하지 않았다. 식 계산을 마친 뒤 판단하려다 보니 출력값이 존재한다는 사실만으로 함수라고 결론을 내렸다.
현재 가능한 것과 흔들리는 조건
현재는 주어진 식에 숫자를 대입하여 함수값을 계산하고, 전개나 괄호 처리를 통해 결과를 구하는 것은 가능하다. 반면 대응표, 화살표 그림, 문제 상황처럼 식이 바로 제시되지 않는 경우에는 입력과 출력의 역할을 먼저 구분하는 과정이 약하다.
특히 같은 입력에서 출력이 두 개 나오는 경우, 출력 하나가 여러 입력에서 나오는 경우를 구별하지 못하고 있다. 함수에서는 여러 입력이 하나의 출력으로 모이는 것은 가능하지만, 하나의 입력이 여러 출력으로 나뉘면 함수가 될 수 없다는 조건을 문제의 형태와 연결해야 한다.
함수 문제의 첫 질문을 “값을 얼마로 계산하는가?”가 아니라 “각 입력에 출력이 하나씩만 대응하는가?”로 바꾸는 것이 현재의 핵심 기준이다.
표를 직접 만들고 새로운 조건에 재적용하기
오답을 고칠 때 정답을 먼저 알려 주지 않고, 학생이 대응관계를 표로 옮기게 했다. 입력과 출력을 각각 나눈 뒤 입력 1의 행에 출력 3과 5가 함께 적히는 것을 확인하게 하자, 함수 여부를 결정하는 최초 조건이 무엇인지 스스로 설명할 수 있었다.
그다음에는 식을 계산하기 전에 입력과 출력의 위치를 표시하게 했다. 함수식 y=2x+1에서는 x가 입력이고 y가 출력임을 확인한 뒤, x=2일 때 y=5라는 한 대응을 표에 기록했다. 이후 x=-1, x=0, x=3을 넣어 표를 만들고, 각 입력에 출력이 하나씩만 생기는지 검산했다.
마지막으로 숫자와 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 입력 1, 2, 3에 각각 출력 4, 4, 7이 대응되는 관계에서는 같은 출력이 반복되어도 각 입력에는 출력이 하나씩이므로 함수라고 판단하게 했다. 반대로 입력 2에 출력 5와 8이 함께 대응되는 관계에서는 계산 결과와 관계없이 함수가 아니라고 설명하게 했다.
이제 저현고등학교 고1수학과외의 최종 점검에서는 답만 맞혔는지 보지 않고, 학생이 입력값과 출력값을 표로 정리한 뒤 함수 조건에 맞는 검산 방법을 스스로 선택하는지 확인한다.