숫자만 바뀐 문제라고 판단한 순간
가운고등학교 수학과외에서 자주 확인하는 장면 중 하나는 학교 프린트의 익숙한 도형 문제를 다시 만났을 때 나타난다. 한 학생은 이전 문제와 숫자만 달라졌다고 생각해 기억해 둔 풀이를 그대로 옮겼다. 그러나 새 문제에는 평행 조건과 각의 관계를 함께 사용해야 하는 조건이 추가되어 있었고, 기존 식은 처음부터 맞지 않았다.
계산 과정은 매끄러웠지만, 도형에 주어진 길이·각·평행 조건을 풀이순서에 맞게 연결하지 않은 것이 최초의 오류였다. 시험 후반 제한시간이 다가오자 마지막에 식과 도형을 대조하는 과정도 생략하면서 잘못 세운 식을 끝까지 밀고 갔다.
도형 조건은 한꺼번에 쓰는 정보가 아니다
이 유형에서는 모든 조건을 동시에 식에 넣는 것보다, 어떤 조건이 먼저 관계를 만들어 주는지 결정해야 한다. 평행선이 있으면 엇각이나 동위각의 관계를 확인하고, 그 결과로 닮음이나 길이의 비를 세울 수 있는지 살핀다. 주어진 길이는 그다음 식에 대입할 값인지, 다른 관계를 확인하기 위한 값인지 구분해야 한다.
문제를 읽은 뒤에는 먼저 구해야 할 양을 적고, 도형에서 확인한 조건 옆에 짧게 표시한다. 예를 들어 평행 조건으로 같은 각을 찾았다면 해당 각을 표시한 뒤, 그 관계가 길이의 비나 닮음으로 이어지는지 확인한다. 사용한 조건은 풀이 옆에서 하나씩 지워야 새로 추가된 조건을 빠뜨리지 않는다.
해설 직후의 재풀이가 이해를 대신할 때
이 학생은 해설을 본 직후 같은 문제를 다시 풀면서 풀이순서를 기억한 것을 이해한 것으로 판단했다. 이때는 어느 조건에서 다음 단계로 넘어갔는지 스스로 결정한 것이 아니므로, 숫자나 조건이 조금만 바뀌어도 첫 식을 정하지 못한다.
따라서 시험 직전에는 해설을 덮고 도형만 보며 다음 세 가지를 말하게 한다.
- 구해야 할 값은 무엇인가
- 가장 먼저 사용할 길이·각·평행 조건은 무엇인가
- 그 조건으로 어떤 관계식이 만들어지는가
그 후 숫자를 바꾼 변형문제를 풀어 기존 식이 그대로 유지되는지, 새 조건 때문에 식을 다시 세워야 하는지 비교한다. 같은 풀이를 외우는 것이 아니라 조건의 역할을 바꾸어 읽는 훈련이다.
제한시간 안에서도 남겨야 할 마지막 대조
시간이 충분하면 이 학생은 답을 도형에 다시 대입하고 계산 결과를 검산할 수 있다. 반면 실전 속도에서는 마지막 확인을 생략하는 경향이 남아 있다. 그래서 전체 풀이를 다시 쓰게 하기보다, 마지막 30초 동안 도형과 식을 대조하는 기준을 정한다.
사용하지 않은 조건이 남아 있는가, 식의 각 항이 도형의 어느 길이와 연결되는가, 구한 값이 도형의 범위와 맞는가.
다음 날 해설 없이 같은 문제를 다시 풀 때는 풀이순서를 독립적으로 정하고, 이후 조건 하나를 바꾼 문제까지 이어서 확인한다. 이전에는 기존 풀이를 옮기던 장면에서 멈췄지만, 이제는 추가된 평행 조건이 식을 바꾸는지 먼저 대조한다. 가운고등학교수학과외의 학습 과정에서도 이런 변화는 정답보다 분명하다. 시험 후반에도 조건을 남겨 두지 않고, 마지막에 도형과 식을 직접 연결해 확인하는 행동이 남기 때문이다.