한민고등학교고3수학과외에서 다룬 합성함수의 극값 판단
광탄면과 연결된 한민고등학교 고3 수학과외 학습에서는 시험 후반부 최댓값·최솟값 문제에서 계산 속도보다 미분 순서를 유지하는 데 초점을 두었다. 특히 합성함수의 도함수를 구한 뒤 극값을 판단하고, 필요한 경우 그래프와 넓이 조건까지 연결하는 상황을 연습했다.
후반부에 발생한 최초 오류
학생은 함수의 최댓값을 구하는 문제에서 먼저 식의 겉부분을 확인했다. 예를 들어 y=f(g(x)) 형태의 식을 보고 f를 미분한 뒤, 도함수를 0으로 두어 후보를 찾으려 했다. 그러나 f′(g(x))까지만 적고 g′(x)를 곱하지 않았다.
그 결과 실제로는
y′=f′(g(x))g′(x)
이어야 하는데 y′=f′(g(x))로 계산했다. 안쪽함수의 변화율이 반영되지 않으면서 도함수의 영점과 부호가 달라졌고, 학생은 그 잘못된 후보를 그대로 극댓값 또는 극솟값 후보로 사용했다. 끝점 비교와 전후 부호 확인도 생략해 최댓값의 위치까지 잘못 결정했다.
바깥함수 미분 → 안쪽함수 미분계수 곱하기 → 도함수의 부호 확인 → 극값 후보와 끝점 비교
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
합성함수 미분공식 자체는 알고 있어 식이 단순할 때는 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 계산할 수 있다. 하지만 시험 후반부처럼 시간이 부족하고 최댓값·최솟값 조건이 함께 제시되면 처음 사용한 풀이 순서를 바꾸지 못한다. 안쪽 구조가 복잡해질수록 연쇄 적용의 한 단계를 빠뜨린 뒤, 이후 계산을 맞게 진행해도 최초 오류를 발견하지 못하는 상태다.
따라서 정답만 확인하지 않고 도함수를 작성한 첫 줄부터 추적했다. f′(g(x))를 적은 직후 g′(x)를 곱했는지 표시하고, 도함수의 부호가 바뀌는 지점을 좌우 구간에서 다시 확인했다. 극값 후보만 보는 것이 아니라 정의된 구간의 양 끝점까지 대입해 최댓값과 최솟값을 비교하게 했다.
넓이 문제로 연결한 재적용
같은 미분 순서를 정적분과 넓이 문제에도 적용했다. 먼저 두 그래프의 교점을 구하고, 구간을 나눈 뒤 각 구간에서 위에 있는 함수와 아래에 있는 함수를 표시했다. 그래프의 위치가 바뀌는 점을 확인하지 않은 채 하나의 적분식으로 밀어붙이지 않도록 했다.
그 다음 숫자와 안쪽함수를 바꾼 새 합성함수의 최댓값 문제를 제시했다. 학생은 식을 보자마자 도함수를 계산하지 않고 바깥함수와 안쪽함수에 각각 표시를 남겼다. 이후 f′(g(x))를 적고 g′(x)를 곱한 다음, 도함수의 부호표를 작성했다. 그래프 조건이 복잡해진 문제에서도 주요 점과 부호 정보를 먼저 기록한 뒤 계산값과 그래프를 대조했다.
마지막에는 제한시간을 정해 모의평가형 세트의 후반 문제를 다시 풀었다. 이번에는 도함수 계산을 끝낸 뒤 바로 답을 확정하지 않고, 안쪽함수 미분계수의 누락 여부와 극값 전후 부호, 끝점 대입을 짧게 검산했다. 한민고등학교고3수학과외에서는 이 검산 순서가 시간 압박 속에서도 유지되는지를 기준으로 다음 학습을 이어갔다.