한영외국어고등학교 고1수학과외에서 다룬 경우 분류와 도형 이동
한영외국어고등학교 고1수학과외에서는 교과서 예제의 풀이 순서를 외우기보다, 질문과 조건이 달라졌을 때 어떤 원리를 먼저 꺼내야 하는지 확인하는 데 초점을 두었다. 간단한 경우의 수는 셀 수 있었지만 조건이 여러 개 겹치면 떠오르는 순서대로 배열을 적으면서 같은 경우를 두 번 세거나 가능한 경우 하나를 빠뜨리는 모습이 나타났다.
같은 배열을 두 번 센 최초 지점
조건이 여러 개 제시된 문제에서 이 학생은 문제의 질문을 끝까지 분리해 확인하기보다 곧바로 가능한 경우를 나열했다. 예를 들어 첫 번째 조건을 만족하는 배열을 적은 뒤 두 번째 조건을 적용하면서 이미 적은 배열을 다시 다른 순서로 기록했다. 반대로 한 조건을 만족하지만 목록에 들어갈 차례를 놓친 경우도 있었다.
따라서 계산 결과만 보면 숫자를 더하고 곱하는 과정은 진행했지만, 각 경우가 어떤 기준으로 분류되었는지는 설명하지 못했다. 현재는 조건이 하나이거나 경우가 적은 문제에서는 직접 세어 답을 구할 수 있다. 그러나 조건이 늘어나면 중복과 누락을 동시에 통제하는 부분이 아직 흔들리며, 시험 후반에 이 행동이 다시 나타나는지가 현재 학습 상태를 판단하는 기준이 되었다.
경우를 떠오르는 순서가 아닌 기준으로 나누기
수정할 때는 오답을 다시 계산하는 데 그치지 않고, 먼저 조건과 구할 값을 분리했다. 그다음 모든 경우를 한꺼번에 적지 않고 첫 번째 기준을 행으로, 두 번째 기준을 열로 정해 표를 만들었다. 가지 구조가 더 적절한 문제에서는 첫 조건을 첫 번째 가지로 놓고, 그 아래에 두 번째 조건을 만족하는 경우만 이어서 기록했다.
- 각 행과 열이 무엇을 의미하는지 먼저 적는다.
- 이미 기록한 배열에는 표시하여 다시 세지 않는다.
- 조건을 만족하지 않는 경우는 지우지 않고 제외 이유를 남긴다.
- 마지막에 각 행의 개수와 전체 가능한 개수를 비교해 누락을 확인한다.
이 과정에서 ‘왜 이 식이나 표를 먼저 세웠는가’를 말하게 했다. 단순히 답을 빠르게 구하는 것이 아니라, 서로 겹치지 않는 기준으로 모든 경우가 한 번씩만 들어갔는지 검산하는 방식으로 풀이를 바꾼 것이다.
도형의 이동을 그래프 모양으로 외우지 않기
도형의 이동을 숫자만 바꾸어 적용하는 문제에서도 비슷한 문제가 있었다. 이전에 보았던 그래프 모양을 그대로 떠올린 뒤 위치를 옮기려 했기 때문에, 식의 계수와 조건이 달라졌을 때 실제 꼭짓점이나 교점의 위치를 설명하지 못했다.
그래서 먼저 원래 식에서 각 계수가 어떤 위치와 방향을 결정하는지 확인하고, 이동 후 식의 조건을 다시 대입했다. 예를 들어 식 안의 변화가 가로 이동인지 세로 이동인지 구분한 뒤, 꼭짓점 좌표를 계산하여 그림과 대조했다. 그래프를 먼저 그리지 않고 식에서 얻은 위치를 기준으로 좌표를 표시하게 하면서, 모양 암기가 아니라 식과 조건의 관계를 설명하도록 수정했다.
표의 행·열 의미와 그래프의 식·좌표를 먼저 확인한 뒤 계산한다.
다음 날에는 숫자를 바꾼 경우의 수 문제와 이동량을 바꾼 도형 문제를 빈 종이에 다시 풀었다. 경우의 수에서는 새로운 배열을 떠오르는 순서대로 적지 않고 표의 기준을 먼저 만들었으며, 도형 문제에서는 외운 그림을 복사하지 않고 계수와 조건으로 꼭짓점 위치를 다시 계산했다. 한영외국어고등학교 고1수학과외에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 낯선 심화문제에서도 이미 아는 기본관계로 조건을 줄여 첫 풀이를 세우는 행동이 나타났다는 점이다.