경우를 나열하다가 생긴 중복과 누락
한 학생은 내신 변형문제에서 그래프의 기본 모양을 떠올리는 것까지는 가능했지만, 조건에 맞는 해의 범위를 정리하는 단계에서 경우를 떠오르는 순서대로 적었다. 그 결과 같은 경우를 두 번 세고, 실제로 가능한 한 경우는 빠뜨렸다. 계산식 자체에는 뚜렷한 오류가 없어 정답처럼 보였지만, 경계값을 대입해 보자 문제의 조건을 만족하지 않는 결과가 섞여 있었다.
이 오답은 단순한 계산실수라기보다 최초 판단에서 경우를 분류하는 기준을 세우지 않은 데서 시작됐다. 식의 조건과 그래프 변화를 동시에 연결해야 하는 문제에서 그래프의 모양은 이해하고 있었지만, 어느 구간을 포함할지와 경계값에서 함수값이 어떻게 달라지는지를 끝까지 유지하지 못한 것이다.
교과서 풀이와 내신 변형의 차이
교과서의 기본 문제에서는 식을 세운 뒤 그래프의 위치와 모양을 확인하는 흐름이 비교적 안정적이었다. 그러나 숫자나 조건의 표현이 바뀐 내신 변형문제에서는 학교 수업 복습에서 확인한 처리 기준을 바로 꺼내지 못했다. 처음 떠오른 경우부터 적기 시작하면서 식의 조건, 그래프의 변화, 해의 범위를 따로 판단하게 됐다.
따라서 한성과학고등학교 수학과외에서는 새로운 유형을 많이 추가하기보다 학교 수업에서 다룬 예제와 교과서 변형을 연결해 풀이 순서를 점검한다. 문제를 읽은 뒤 바로 경우를 나열하지 않고, 먼저 구해야 할 범위와 경계값을 표시한다. 이후 그래프가 어느 구간에서 조건을 만족하는지 확인하고, 그 구간을 기준으로 경우를 나눈다.
경계값을 풀이 중간에 끌어오는 방법
경우의 수나 부등식 조건이 포함된 문제에서는 각 경우를 적은 뒤 다음 세 가지를 대조한다.
- 각 경우가 서로 겹치지 않는지 확인한다.
- 가능한 범위의 양 끝값이 포함되는지 식의 부호와 함께 살핀다.
- 구한 해를 원래 조건과 그래프에 다시 대입한다.
예를 들어 그래프가 특정 구간에서만 조건을 만족한다면, 구간의 내부값만 확인하고 끝내지 않는다. 경계값을 직접 넣어 등호가 성립하는지 확인해야 한다. 경계값에서 조건이 바뀌면 열린 구간과 닫힌 구간을 구분해야 하며, 이 확인이 빠지면 계산 결과는 맞아도 해의 범위가 달라질 수 있다.
오답의 최초 지점을 표시하는 복습
오답을 다시 풀 때는 최종 답만 고치지 않고, 경우를 처음 나눈 줄에 표시를 남긴다. 같은 경우가 반복된 지점과 빠진 경우가 어디서 생겼는지 찾은 뒤, 그래프의 구간을 기준으로 다시 표를 작성한다. 해설을 그대로 베끼는 대신 식의 조건, 그래프 변화, 경계값을 한 줄씩 대응시키면 풀이의 처리순서를 바꾸는 연습이 된다.
다음 날에는 숫자를 바꾼 변형문제를 빈 종이에서 다시 시작한다. 이때 정답이 나오더라도 사용하지 않은 조건이 남아 있는지 확인하고, 각 경우에 경계값을 대입한다. 이후에는 경우를 떠오르는 순서가 아니라 그래프의 구간과 조건에 따라 나누며, 같은 경우를 두 번 세거나 한 경우를 빠뜨린 사실을 풀이 중간에 스스로 발견하게 된다.