영동일고등학교 고2수학과외에서 확인한 조건 연결의 문제
영동일고등학교 고2수학과외에서는 계산 속도보다 여러 조건을 어떤 순서로 연결하는지가 중요한 장면이 확인됐다. 이 고2 학생은 직선과 도형의 평행·수직 관계 자체는 이해하고 있었지만, 도형 조건을 식으로 옮길 때 한 가지 관계만 먼저 사용한 뒤 나머지 위치조건을 뒤로 미루는 경향이 있었다.
그래프와 식을 함께 읽을 때 생긴 최초 오류
삼각함수 그래프와 식이 함께 제시된 문제에서 학생은 먼저 진폭과 기본 그래프의 모양을 확인한 뒤, 평행 또는 수직 조건 하나를 이용해 식을 정리했다. 그러나 대칭축이나 원점대칭 관계를 이용해 새로운 각의 값을 기존 값과 연결해야 하는 단계는 뒤로 밀렸다. 그 결과 식 변환이 실제로 독립적으로 적용되는지 확인하지 않은 채 계산을 진행했고, 그래프의 위치와 식에서 얻은 값이 일치하지 않는 답을 선택했다.
비슷한 방식은 여러 단원이 섞인 문제에서도 나타났다. 집합 포함관계의 방향을 반대로 읽어 필요조건과 충분조건을 뒤집었고, 벤다이어그램에서 큰 집합과 작은 집합의 위치를 확인하지 않은 채 선지를 판단했다. 조건을 개별적으로 처리하는 데 익숙하지만, 조건 사이의 방향과 종속 관계를 먼저 정리해야 하는 문제에서는 판단이 느려지는 상태였다.
조건을 식과 그래프로 동시에 검증하는 훈련
먼저 집합 조건은 기호만 보지 않고 벤다이어그램과 함께 표시하게 했다. A⊂B라면 A가 B 안에 들어가는 그림을 그린 뒤, “A이면 B”가 되는지와 “B이면 A”도 성립하는지를 따로 확인해 필요조건과 충분조건의 방향을 구분했다. 숫자나 집합의 이름을 바꾼 변형 문제에서도 같은 절차를 유지하는지 점검했다.
그래프 문제에서는 식을 정리하기 전에 정의역, 점근선, 그래프의 위치를 표시하도록 했다. 유리함수의 식이 변형되면 분모가 0이 되는 값을 먼저 제외하고, 수직·수평 점근선과 그래프의 대칭 관계를 확인한 뒤 식의 변환을 적용했다. 삼각함수에서는 대칭축 또는 원점대칭으로 연결되는 각을 먼저 찾고, 이후 식에 대입한 값이 그래프의 영점과 교점 위치에 맞는지 대조하게 했다.
조건 하나를 계산에 바로 쓰기보다 핵심조건과 보조조건을 나누고, 식의 결과를 그래프와 원래 조건에 다시 대입한다.
다음 날 독립 재풀이와 조건 변경
수정 직후에는 풀이 표시를 남긴 채 확인했지만, 다음 날에는 표시 없는 문제를 다시 풀도록 했다. 이후 평행 조건을 수직 조건으로 바꾸거나, 대칭축을 원점대칭 조건으로 바꾼 문제를 제시해 어느 관계를 먼저 사용해야 하는지 스스로 선택하게 했다. 집합 문제도 포함관계의 방향과 선지의 필요·충분조건을 바꾸어 제시했다.
최근에는 그래프의 모양을 먼저 그린 뒤 식을 결정하고, 마지막에 정의역과 점근선 및 원식 대입을 확인하는 순서가 나타난다. 영동일고등학교고2수학과외 학습에서도 계산량이 많은 문제를 무작정 전개하기보다 조건의 방향, 그래프 위치, 식 변환의 독립 적용 여부를 먼저 점검하는 풀이로 바꾸는 과정이 진행되고 있다.