성심여자고등학교 고2수학과외에서 다룬 지수·로그 서술형 풀이
성심여자고등학교 고2수학과외에서는 지수·로그식의 변형을 빠르게 수행하는 것보다, 여러 풀이 중 어떤 구조가 가장 단순한지 먼저 판단하고 그 결과를 원식과 그래프에 연결하는 연습을 진행했다. 원효로4가와 연결된 학습 사례에서도 서술형 조건이 길어질수록 식을 곧바로 계산하기보다 조건을 수학식으로 바꾸는 과정이 중요하게 나타났다.
같은 밑 변환보다 먼저 확인해야 할 것
이 학생은 지수법칙 자체는 익숙했다. 예를 들어 2x+2x+1=12와 같은 식을 보면 같은 밑으로 정리해 해를 구할 수 있었다. 그러나 변형문제에서 4x-5·2x+4=0을 만났을 때는 식 전체를 무리하게 같은 밑의 지수식으로만 바꾸려 했다.
실제로는 2x=t로 놓으면 t>0이고, 식은 t2-5t+4=0이 된다. 따라서 t=1 또는 4를 얻은 뒤 2x=1, 2x=4를 각각 풀어 x=0, 2를 확인해야 한다. 이처럼 밑과 지수의 구조를 보고 같은 밑으로 정리할지, 치환 후 인수분해할지 먼저 선택해야 풀이가 짧아진다.
실제 오답이 만들어진 과정
수열 변형문제를 활용한 로그방정식 연습에서 학생은 먼저 지수방정식의 후보값을 구했다. 하지만 후보값을 원래 식에 다시 대입하지 않아, 변형 과정에서 생긴 조건을 만족하지 않는 값까지 답에 포함했다. 특히 로그식에서는 진수조건과 밑의 조건을 확인해야 하므로, 계산 결과만으로 해를 확정할 수 없다.
로그함수 그래프 문제에서도 안쪽 함수의 출력이 바깥 로그함수의 입력이 된다는 순서를 한 번에 처리하려 했다. 그 결과 y=log2(x-1)+3에서 x-1의 정의역 조건 x>1을 먼저 표시하지 않았고, 그래프를 오른쪽으로 1만큼 이동한 뒤 위로 3만큼 이동한다는 사실과 식의 조건을 따로 판단했다.
후보해를 구한 뒤 원식에 대입하고, 그래프에서는 안쪽 함수의 입력과 정의역을 먼저 확인한다.
수정한 풀이 절차와 재적용
먼저 지수식의 밑과 지수 구조를 표시하고, 같은 밑 변환과 치환·인수분해 중 더 단순한 방법을 고르게 했다. 치환을 선택한 경우에는 반드시 t의 범위까지 적은 다음, 인수분해로 얻은 후보를 원래 지수식에 다시 대입하도록 했다. 로그방정식은 진수조건을 별도로 적고 원식에 재대입해 등식이 실제로 성립하는지 확인했다.
그래프 문제에서는 안쪽 식을 u=x-1처럼 임시로 두고, u의 범위와 로그함수의 정의역을 먼저 확인했다. 그 다음 기본 그래프에서 가로 이동과 세로 이동을 구분하고, 식에 대입한 점의 좌표가 그래프에 놓이는지 대조했다.
이후 숫자를 바꾼 9x-10·3x+9=0과 조건을 바꾼 로그방정식을 제시했다. 학생은 먼저 3x=t, t>0을 설정하고 인수분해한 뒤 각 후보를 원식에 넣었다. 그래프 문제에서도 안쪽 함수의 출력 범위를 먼저 적어, 식의 변형과 그래프 위치를 같은 근거로 설명하는 풀이로 바뀌었다.
성심여자고등학교 고2수학과외의 이 과정은 정답을 얻는 데서 끝나지 않고, 변형 선택의 이유와 후보해 검증 과정을 서술형 답안에 남기는 데 초점을 맞춘다.