동일여자고등학교 고3수학과외에서 다룬 합성함수 미분의 최초 오류
동일여자고등학교 고3수학과외에서는 그래프를 먼저 해석한 뒤 식을 미분하고, 마지막에 그래프와 계산 결과를 대조하는 순서로 모의평가형 문제를 점검했다. 시흥동과 연결된 학습 사례의 핵심은 합성함수의 안쪽 구조를 놓치지 않고 실근 개수와 그래프의 변화를 함께 판단하는 것이었다.
극값 위치가 달라진 이유
문제는 함수 f(x)=g(2x−1)의 그래프와 방정식 f(x)=k의 실근 개수 변화를 묻는 형태였다. 이 학생은 먼저 g의 도함수를 구한 뒤 익숙한 식처럼 f′(x)=g′(2x−1)이라고 적었다. 바깥함수 g를 미분하는 데에는 성공했지만, 안쪽함수 2x−1의 미분계수 2를 곱하지 않았다.
그 결과 실제로는 f′(x)=2g′(2x−1)이어야 하는데 도함수의 크기를 잘못 정했고, 이어서 도함수의 부호가 바뀌는 x값과 극값의 위치를 잘못 표시했다. 특히 g′의 부호표만 옮겨 적으면서 2x−1의 값이 어느 구간에 해당하는지 확인하지 않아, 그래프와 수평선 y=k의 교점 개수까지 틀리게 판단했다.
현재 합성함수 미분공식 자체는 알고 있고 단순한 식에서는 안쪽함수의 미분계수도 곱할 수 있다. 그러나 시험 후반 복합조건 문제에서 바깥함수와 안쪽함수가 여러 번 겹치면 먼저 실근 개수나 그래프 모양을 확인하지 않고 익숙한 미분부터 시작하는 흔들림이 남아 있다.
풀이 순서를 고정한 재적용
- f(x)=g(2x−1)을 보면 바깥함수 g와 안쪽함수 u=2x−1을 먼저 따로 표시한다.
- u′=2를 적은 다음 f′(x)=g′(u)·u′=2g′(2x−1)로 한 줄씩 연결한다.
- g′의 부호가 바뀌는 기준값을 2x−1에 대입해 f의 증가·감소 구간과 극값 후보를 다시 구한다.
- 극값 후보만으로 실근 개수를 확정하지 않고, 그래프와 y=k의 교점을 직접 세어 기준값에서 근의 개수가 어떻게 달라지는지 확인한다.
다음 문제에서는 f(x)=g(3−2x)로 안쪽함수의 기울기를 바꾸고, g의 극값 개수와 위치도 변경했다. 이때 학생은 먼저 u=3−2x를 표시하고 f′(x)=−2g′(3−2x)를 작성했다. 이후 도함수의 부호가 반대로 바뀌는 점을 표에 옮기고, 그래프를 그려 실근 개수를 검산했다.
넓이 문제와 제한시간 검증
합성함수 그래프와 다른 함수 사이의 넓이를 구하는 문제에서는 계산부터 시작하지 않고 두 그래프의 교점을 먼저 구했다. 교점의 x좌표를 기준으로 각 구간에서 어느 함수가 위에 있는지 표시한 뒤, 위치가 바뀌는 구간은 적분식을 나누었다. 계산값이 양수여도 그래프의 위·아래 관계가 맞는지 다시 확인하게 했다.
파이널 세트에서는 6월·9월 모의평가형 문제와 같은 구조를 유지하되 숫자와 조건을 바꿔 제한시간 안에 재풀이하고, 마지막에는 정의역·경계값·교점 개수를 따로 표시한다.
동일여자고등학교 고3수학과외의 재검증에서는 풀이를 끝낸 뒤 도함수 식만 다시 보는 데 그치지 않고, 그래프의 증가·감소 방향과 실근 개수를 역으로 대조했다. 안쪽함수의 미분계수를 빠뜨렸을 때 극값과 넓이 구간이 함께 달라진다는 점을 확인하면서, 계산 시작 전 구조를 분리하는 행동을 제한시간 속에서도 유지하도록 훈련했다.