홍익대학교사범대학부속고등학교 고3수학과외의 교점 개수 판단 훈련
수능형 그래프 추론 문제를 풀 때 이 학생은 함수의 증가·감소와 극대·극소를 이용해 그래프의 전체 모양을 읽는 것은 가능했다. 그러나 두 함수의 교점 개수를 묻는 준고난도 문항에서는 각각의 식을 따로 정리하는 데 시간이 오래 걸렸고, 매개변수 조건이 달라졌는데도 이전에 풀었던 식의 형태를 그대로 적용하는 모습이 나타났다.
교점을 직접 구하려다 시작된 오답
문제에서 두 함수의 그래프가 만나는 점의 개수를 물었을 때, 먼저 첫 번째 함수의 도함수를 구해 증가·감소 구간을 나누고 두 번째 함수도 같은 방식으로 분석했다. 이후 두 식을 같게 놓고 방정식을 정리했지만, 식이 길어지면서 어느 구간에서 그래프가 만나는지 판단하지 못했다. 실제로는 한 함수에서 다른 함수를 뺀 차함수의 영점을 조사하면 되는 상황이었지만, 두 그래프를 각각 완성해야 한다고 생각한 것이 최초의 오류였다.
특히 문제의 매개변수 조건이 기존 연습문제와 달라졌는데도 익숙한 식을 먼저 적었다. 그 결과 매개변수가 포함된 항의 부호를 잘못 옮겼고, 잘못된 차함수로 극값을 계산한 뒤 교점이 세 개라고 결론 내렸다. 원래 식에서는 차함수의 극대값이 x축 위에 놓이는지, 극소값이 x축 아래로 내려가는지를 확인해야 교점 개수를 결정할 수 있었지만 이 검증이 빠졌다.
두 함수의 교점은 각각의 그래프를 끝까지 계산하는 문제가 아니라, f(x)−g(x)의 영점 개수를 묻는 문제로 바꾸어 볼 수 있다.
현재 가능한 판단과 흔들리는 조건
그래프가 주어져 있거나 증가·감소 구간이 명확한 문제에서는 교점의 위치를 대략 추론할 수 있다. 도함수가 0이 되는 값을 찾고 극대·극소의 높이를 비교하는 과정도 익숙하다. 다만 시간 제한이 있는 시험 후반에는 두 함수를 따로 미분하는 습관이 먼저 나타나며, 매개변수나 구간 조건이 바뀌면 이전 풀이의 식을 빠르게 복사하려는 경향이 남아 있다.
그래서 풀이 첫 줄에 원문에서 달라진 조건을 표시하게 했다. 매개변수의 범위, 함수의 부호, 정의된 구간을 따로 적은 뒤 각 조건을 핵심 조건, 보조 조건, 마지막 검산 조건으로 나누었다. 첫 식에 사용한 조건 옆에는 체크 표시를 남겨, 뒤에서 다른 식을 세울 때 같은 조건을 중복 사용하거나 빠뜨리지 않도록 했다.
차함수로 바꾸는 재적용 과정
다시 같은 유형을 풀 때는 두 함수를 각각 분석하지 않고 먼저 h(x)=f(x)−g(x)를 설정했다. h(x)=0이 두 그래프의 교점이라는 점을 적은 다음 h′(x)의 부호표를 작성했다. 극대·극소의 x좌표를 구한 뒤 해당 점에서 h(x)의 값이 0보다 큰지 작은지 확인하고, 양 끝점의 함수값까지 비교해 영점이 생기는 구간을 나누었다.
계산 결과만 믿지 않도록 식과 그래프를 서로 대조했다. 차함수의 극대값과 극소값의 부호가 예상한 그래프의 위아래 위치와 맞는지 확인하고, 특수값을 대입해 실제로 부호가 바뀌는 구간을 표시했다. 이 과정에서 극값 하나만 보고 교점 수를 확정하지 않고, 끝점 포함 여부와 중복되는 접점을 따로 점검했다.
다음 날에는 매개변수의 숫자와 범위를 바꾼 새 문제를 표시 없이 풀었다. 이번에는 첫 줄에서 변경된 조건을 먼저 동그라미 치고, 두 함수의 차를 만든 뒤 도함수 부호표로 경우를 나누었다. 마지막에는 대입 결과와 그래프의 교점 개수가 일치하는지 확인했다. 파이널 세트에서는 한 문제에 오래 머물지 않도록 두 함수를 각각 계산하는 풀이가 길어지면 차함수 전환을 선택하고, 풀이 종료 전 조건 체크와 부호 검산까지 제한시간 안에 수행했다.
성북동과 연계한 홍익대학교사범대학부속고등학교 고3수학과외 학습에서도 핵심은 그래프를 많이 그리는 데 있지 않았다. 조건이 바뀐 순간을 먼저 표시하고, 교점 문제를 차함수의 영점과 극값 문제로 변환한 뒤 식과 그래프를 독립적으로 확인하는 행동을 만드는 데 초점을 두었다.