정의역을 먼저 확정하지 않고 식을 변형하면 좌표와 교점 조건을 모두 계산한 뒤에도 실제로 존재하지 않는 해가 남을 수 있다. 중앙대학교사범대학부속고등학교 고2수학과외에서는 무리함수와 유리함수의 식을 그래프 범위까지 연결해 확인하는 데 초점을 두었다.
후보해를 구한 뒤 정의역에서 걸러내기
수열 변형문제에 포함된 무리함수 조건을 풀 때, 이 학생은 먼저 근호가 포함된 식을 제곱해 방정식의 후보해를 구했다. 계산 과정에서는 후보값을 모두 남겼지만, 근호 안의 식이 0 이상이어야 한다는 조건을 처음 단계에서 확정하지 않았다. 그 결과 방정식 자체의 후보로는 보이지만 매개변수 조건을 다시 대입했을 때 성립하지 않는 값까지 최종 답에 포함했다.
현재 무리함수의 기본 형태와 식의 변형은 수행할 수 있다. 다만 근호조건과 그래프가 존재하는 범위를 풀이 끝까지 유지하는 정확도는 불안정하며, 서술형에서는 계산 결과를 답으로 옮기기 전에 조건을 재검토하는 과정이 빠지기 쉽다. 공비와 부호 변화를 확인해야 하는 등비관계에서도 중간 항의 변화만 보고 전체 관계가 유지된다고 판단하는 경향이 같은 방식으로 나타났다.
식과 그래프를 함께 검증한 과정
수정할 때는 문제의 식에서 먼저 근호 안의 조건을 부등식으로 정리하고, 그 결과를 정의역으로 표시했다. 이후 후보해를 원래 방정식에 재대입한 뒤 매개변수 조건에도 각각 대입하여 두 조건을 모두 만족하는 값만 남겼다. 좌표값이 정해진 뒤에는 두 점을 잇는 기울기와 거리 조건을 계산하고, 교점이 실제 정의역 안에 있는지 그래프의 존재 범위와 대조했다.
- 근호 안의 식이 0 이상인지 먼저 확인한다.
- 제곱이나 식의 변형으로 얻은 후보해를 원식에 다시 대입한다.
- 매개변수 조건을 별도로 적용해 허용되는 경우만 분류한다.
- 남은 좌표가 그래프의 정의역과 교점 조건에 맞는지 확인한다.
- 등비관계에서는 공비의 크기뿐 아니라 부호 변화가 끝까지 유지되는지 점검한다.
다음 재적용에서는 숫자와 매개변수 조건을 바꾼 변형문제를 사용했다. 처음에는 후보해를 한 줄에 모아 적었지만, 수정 후에는 각 값 옆에 근호조건, 원식 대입 결과, 매개변수 조건의 충족 여부를 나누어 기록했다. 한 후보가 원식 계산은 맞더라도 정의역 밖에 있으면 제외하는 방식이 유지되었고, 그래프와 식의 교점도 허용된 범위 안에서만 판단했다.
후보해를 구하는 것과 해로 확정하는 것은 다르다. 정의역, 원식, 매개변수 조건을 모두 통과한 값만 최종 해가 된다.
중앙대학교사범대학부속고등학교고2수학과외에서는 이후 조건이 바뀐 수열 변형문제에서도 같은 검증표를 적용하게 하여, 계산 결과를 바로 답으로 확정하지 않고 조건별로 제거하는 풀이 습관을 확인했다.