서대문구인창고등학교 고3수학과외에서 다룬 극한 판단의 최초 오류
인창동과 연결된 서대문구인창고등학교 고3수학과외 학습에서는 파이널 실전세트의 새 문제를 해설 없이 풀며, 익숙한 계산보다 문제의 첫 조건을 분리해 읽는 훈련을 진행했다. 특히 좌극한과 우극한을 각각 계산할 수 있는 상태에서 실제 극한의 존재 여부까지 즉시 확정하는지를 확인했다.
한 모의평가형 문제에서 이 학생은 점 x=a를 기준으로 식이 달라지는 함수를 보고 왼쪽 식부터 계산했다. 좌극한이 3으로 정리되자 우극한을 확인하지 않은 채 극한값을 3이라고 적고, 이어 함수값까지 3으로 맞추면 연속이라는 판단을 내렸다. 그러나 우극한 식에 a를 대입하면 5로 수렴했기 때문에 양쪽에서 접근한 값이 같지 않았고, 실제로는 극한이 존재하지 않았다.
계산은 가능하지만 실전 판단이 흔들린 지점
이 학생은 좌극한과 우극한을 따로 구하는 절차 자체는 알고 있다. 다만 시험 후반 새 문제에서 한쪽 계산이 익숙하게 끝나면 그것을 전체 결론처럼 사용하는 경향이 있었다. 함수값과 극한값을 비교하는 연속조건도 알고 있었지만, 양쪽 극한의 일치 여부를 먼저 확정하지 않아 잘못된 연속조건을 세운 것이다.
합성함수 미분이 함께 제시된 문제에서도 비슷한 흐름이 나타났다. 미분 공식부터 적용한 뒤 정의역과 구간조건을 나중에 확인하면서 성립하지 않는 후보를 남겼다. 따라서 이번 서대문구인창고등학교고3수학과외에서는 계산 속도를 높이는 것보다 문제 시작 시 핵심조건과 보조조건을 표시하고, 조건을 풀이 끝까지 유지하는 데 초점을 맞췄다.
극한값과 함수값을 분리해 다시 적용하기
- 점 x=a의 왼쪽에서 접근하는 식과 오른쪽에서 접근하는 식을 각각 적는다.
- 좌극한과 우극한의 값을 나란히 써서 두 값이 같은지 먼저 확인한다.
- 두 값이 같을 때만 공통 극한값과 실제 함수값을 비교한다.
- 연속조건을 세운 뒤에는 정의역과 구간조건에 맞지 않는 후보를 제거한다.
수정 과정에서는 처음 틀린 문제의 숫자만 고치지 않았다. 좌극한은 3, 우극한은 5가 되도록 식을 바꾼 문제를 다시 제시하고, 이번에는 계산 직후 결론을 내리지 않고 두 결과를 한 줄에 쓰게 했다. 이후 양쪽 극한이 같지만 함수값만 다른 문제에서는 극한은 존재하나 연속이 아닌 상황을 구분하도록 했다.
좌극한과 우극한이 같은가 → 공통 극한값은 무엇인가 → 함수값과 일치하는가 → 정의역과 구간조건에 맞는가
다음 날에는 숫자와 질문을 바꾼 새 문제를 제한시간 안에 풀었다. 질문이 연속 여부에서 실근 개수나 최댓값 판단으로 바뀌자, 이전의 연속조건 식을 그대로 사용하지 않고 먼저 그래프와 구간조건을 확인했다. 마지막에는 계산 결과를 좌우 접근값과 함수값에 다시 대입해 검산하면서, 한쪽 결과만으로 극한을 확정하던 행동이 줄어드는지를 확인했다.