서울미술고등학교 고1 수학과외에서 다룬 함수의 최초 오류
봉천동과 연결되는 서울미술고등학교 고1 수학과외 학습에서는 다항식 함수의 식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 입력과 출력의 대응관계를 먼저 확인하는 풀이 흐름을 만들었다. 현재 이 학생은 함수식에 값을 대입해 함수값을 구하는 문제는 풀 수 있지만, 계산 결과와 함수의 조건을 문제 상황에 연결하는 단계에서는 아직 흔들림이 나타난다.
식 계산은 맞았지만 함수 판단이 어긋난 장면
문제집 심화문제에서 다항식으로 표현된 함수의 값을 계산할 때 학생은 주어진 식에 입력값을 바로 대입했다. 괄호와 부호를 정리한 뒤 출력값을 구하는 과정은 맞았지만, 같은 입력에 서로 다른 출력이 함께 제시된 관계를 함수라고 판단했다.
이때 학생의 풀이 순서는 다음과 같았다.
- 주어진 식과 수를 먼저 확인한다.
- 입력값을 식에 대입해 출력값을 계산한다.
- 계산된 결과가 맞는지 숫자만 다시 확인한다.
- 하나의 입력에 출력이 두 개 생기는 조건은 따로 점검하지 않는다.
- 계산이 성립했으므로 함수 관계도 성립한다고 결론 내린다.
따라서 이 오답은 단순한 계산실수가 아니었다. 최초 오류는 계산 전에 확인해야 할 입력과 출력의 대응관계를 생략한 지점에서 발생했다. 함수값 자체는 맞게 구했지만, 같은 입력에 출력이 둘이라면 함수가 될 수 없다는 조건 판단이 빠진 것이다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 조건
이 학생은 다항식 함수의 식이 주어지고 특정 입력값의 함수값을 구하는 유형에서는 대입과 계산을 수행할 수 있다. 그러나 심화문제처럼 식, 표, 관계를 함께 해석해야 할 때는 식의 계산 결과만으로 함수 여부를 판단하려는 이전 행동이 남아 있다.
특히 입력값을 먼저 정리하고 그에 대응하는 출력값을 확인해야 하는 문제에서, 입력 하나에 출력 하나가 대응하는지 살피지 않는다. 반대로 출력 하나에 여러 입력이 대응하는 경우와 입력 하나에 여러 출력이 대응하는 경우를 구분하는 설명도 아직 충분하지 않다.
함수 판단은 계산이 끝난 뒤 붙이는 결론이 아니라, 각 입력에 출력이 정확히 하나씩 대응하는지 먼저 확인하는 조건 판단이다.
표로 바꾸어 대응관계를 확인한 수정 과정
수정할 때는 먼저 문제의 관계를 입력값과 출력값의 표로 옮겼다. 식을 바로 계산하지 않고 왼쪽에 입력, 오른쪽에 출력을 적은 뒤 같은 입력이 몇 번 나타나는지 표시했다. 같은 입력에 출력이 하나만 연결되는지 확인한 다음에야 다항식 식에 값을 대입하도록 순서를 바꾸었다.
- 문제에서 주어진 입력과 출력을 각각 분리한다.
- 입력값별로 대응하는 출력값을 표에 정리한다.
- 하나의 입력에 출력이 두 개 이상인지 확인한다.
- 함수 조건을 만족할 때만 식 계산을 진행한다.
- 계산한 함수값을 표의 대응관계와 다시 대조한다.
이후에는 왜 반대 관계가 함수가 되지 않는지도 말로 설명하게 했다. 출력값이 하나로 같아지는지보다, 동일한 입력에서 출력이 둘로 갈라지는지가 핵심이라는 점을 확인했다. 함수값 계산이 맞더라도 대응관계가 함수 조건에 맞지 않으면 최종 판단은 틀릴 수 있다는 점을 오답의 최초 지점에 표시했다.
조건을 바꾼 문제에 다시 적용한 방법
다음 문제에서는 숫자와 대응관계를 바꾸어 먼저 표를 작성하게 했다. 학생은 이전처럼 식부터 계산하지 않고 입력값을 묶어 확인한 뒤, 각 입력에 연결된 출력의 개수를 세었다. 입력 하나에 출력 하나만 연결된 경우에는 다항식 식에 대입해 함수값을 계산하고, 계산 결과를 다시 표와 비교했다.
반대로 같은 입력에 출력이 두 개 제시된 경우에는 계산을 계속하지 않고 함수가 아니라고 판단한 뒤 그 이유를 적었다. 서울미술고등학교 고1 수학과외 학습에서도 이러한 순서를 유지하면 심화문제에서 식을 계산하는 능력과 함수의 정의를 해석하는 능력을 한 풀이 안에서 연결할 수 있다.