성덕고등학교 고3수학과외에서 교점 개수를 줄이는 첫 판단
천호동과 연결해 진행한 성덕고등학교 고3수학과외 학습에서는 복잡한 미적분 심화문제를 식의 계산보다 조건의 역할을 구분하는 연습부터 점검했다. 현재 이 학생은 함수 그래프를 보고 교점의 대략적인 개수를 판단할 수 있지만, 두 함수가 복잡하게 주어지면 각각의 식을 끝까지 분석하려는 경향이 남아 있다.
두 함수를 따로 풀다가 시작된 오답
문제에서 두 함수의 교점 개수를 묻자 먼저 각각의 식을 정리하고 두 식을 연립하려 했다. 분수와 다항식이 섞인 형태라 전개 과정이 길어졌고, 시험 후반의 제한된 시간 안에서는 계산 중간에 조건 하나를 다시 확인하기도 어려웠다. 실제 최초 오류는 계산 실수가 아니라 교점 조건을 두 함수의 차로 바꾸지 않은 판단이었다.
두 함수 f(x), g(x)의 교점은 f(x)=g(x)를 만족하는 점이므로 h(x)=f(x)-g(x)의 영점으로 볼 수 있다. 그런데 이 학생은 h(x)를 만들지 않고 각 함수를 따로 미분하려 했다. 그 결과 불필요한 식이 늘어났고, 어느 구간에서 교점이 생기는지보다 계산 결과에만 의존하면서 교점 개수를 잘못 세었다.
교점 개수는 두 함수를 각각 푸는 문제가 아니라 차함수의 영점 개수로 바꾸어 극값과 함께 판단한다.
핵심 조건과 검산 조건을 나누는 훈련
수정할 때는 문제의 조건을 핵심·보조·검산용으로 나누어 표시했다. 먼저 정의역과 매개변수 범위를 핵심 조건으로 적고, h(x)=f(x)-g(x)를 만든 뒤 h(x)=0의 해와 h′(x)의 부호를 확인했다. 극값의 위치에서 h(x)의 값이 양수인지 음수인지 비교하면 그래프를 직접 그리지 않아도 영점 개수의 변화를 기준값별로 나눌 수 있었다.
끝점에서의 함수값과 정의역 포함 여부는 마지막 검산 조건으로 남겼다. 처음부터 모든 조건을 식에 넣지 않고, 차함수의 형태를 정한 뒤 필요한 조건을 순서대로 적용하자 계산량이 줄었다. 특히 극값이 있다고 해서 교점이 자동으로 늘어나는 것은 아니므로 극값 전후의 부호와 끝점 값을 함께 확인하게 했다.
수능형 표현으로 바꾼 재적용
다음 문제에서는 함수식을 숫자와 매개변수로 바꾸고, 교점 개수를 매개변수에 따라 구하도록 구성했다. 이 학생은 먼저 h(x)를 적고 h′(x)=0이 되는 기준점을 찾은 다음, 기준값을 중심으로 경우를 나누었다. 두 함수의 교점을 직접 구하지 않고 차함수의 영점과 극값을 연결했으며, 마지막에는 원래 식에 대입해 교점 조건이 유지되는지 확인했다.
이후 수열의 극한과 급수가 다른 표현으로 제시된 문제에서도 같은 순서를 적용했다. 항의 형태를 바로 계산하지 않고 수렴조건을 핵심 조건으로 표시하고, 지수나 계수의 변화가 기준값을 바꾸는지 먼저 확인했다. 조건이 겹치지 않도록 경우를 분리한 뒤 각 경우의 식을 독립적으로 세우고, 끝에서 원래 범위와 수렴 여부를 다시 대조했다.
제한시간 안에서 확인하는 기준
파이널 세트에서는 복잡한 식을 보면 1분 안에 차함수 설정이 가능한지 먼저 판단하도록 했다. 설정이 되면 도함수 부호와 극값 값을 확인하고, 직접 연립하는 방식은 검산이 필요한 경우에만 사용했다. 다음 날 숫자와 조건을 바꾼 새 문제를 표시 없이 풀게 했을 때도 h(x) 설정, 기준값 분류, 끝점 확인의 순서가 유지되는지 확인했다.
성덕고등학교 고3수학과외에서는 이제 계산을 시작하기 전에 핵심 조건과 마지막 검산 조건을 따로 적는다. 그래프 판단에만 머물지 않고 차함수의 영점과 극값으로 근거를 남기는 것이 이 학생의 현재 수능형 풀이 기준이 되었다.