동국대학교사범대학부속고등학교 고3수학과외의 매개변수 실근 추적 훈련
장안동과 연계해 진행한 동국대학교사범대학부속고등학교 고3수학과외에서는 매개변수가 포함된 교점 개수 문제를 풀 때 계산 결과만 맞히는 것과 결론의 근거를 끝까지 연결하는 것을 구분했다. 이 학생은 서술형 식을 전개하고 최종 답을 얻는 데는 가능했지만, 수능형 복합조건에서 도함수의 부호가 왜 바뀌는지와 그 변화가 실근 개수에 어떤 영향을 주는지는 자주 생략했다.
교점 개수 판단이 끊긴 지점
해설 없는 새 문제에서 학생은 매개변수에 따라 함수와 직선의 교점 개수가 달라지는 상황을 먼저 식으로 정리했다. 두 식을 같게 놓고 도함수를 계산한 뒤 도함수=0이 되는 점을 구했지만, 해당 점의 좌우에서 도함수 부호가 어떻게 달라지는지는 표시하지 않았다. 이후 극값의 함수값과 매개변수의 위치를 비교하면서 교점 개수를 결정했으나, 그 점이 실제 극대인지 극소인지 확인하지 않은 채 그래프가 위로 꺾인다고 판단했다.
계산식 자체는 맞아 최종 숫자도 일부 조건에서 일치했지만, 매개변수의 범위가 바뀌었을 때 교점 개수가 달라지는 기준을 설명하지 못했다. 특히 도함수 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 구간을 기록하지 않아 극소의 위치와 함수값을 잘못 연결했고, 다른 매개변수 구간에서는 실근 개수를 하나 적게 세었다.
도함수=0인 점을 찾는 것만으로 극값을 확정하지 않고, 부호 변화와 극값의 높이를 함께 확인해야 매개변수별 교점 개수를 결정할 수 있다.
중간식마다 근거를 남기는 방법
다음 풀이에서는 먼저 원래 교점 조건을 하나의 함수식으로 옮긴 뒤, 정의된 구간과 매개변수 범위를 문제 여백에 따로 표시했다. 도함수의 영점만 적지 않고 각 영점의 왼쪽과 오른쪽에 부호를 배치해 감소·증가 구간을 나눴다. 그 다음 극대·극소의 함수값을 매개변수와 비교하면서 어느 경우에 수평선이 그래프와 한 번, 두 번, 세 번 만나는지 순서대로 기록했다.
검산할 때는 원래 계산을 반복하지 않고 그래프의 교점 개수를 먼저 예상한 뒤, 대표적인 매개변수 값을 대입해 예상과 일치하는지 확인했다. 도함수 부호표와 대입 결과가 다르면 최종 답을 고치기 전에 최초로 판단이 어긋난 구간부터 추적하도록 했다.
조건을 바꾼 새 문제에 재적용
숫자와 매개변수의 범위를 바꾼 모의평가형 문제에서는 이전 풀이의 식을 그대로 사용하지 않고, 먼저 교점 조건과 구간 조건을 다시 읽었다. 이후 도함수의 부호표를 새로 작성하고 극값 전후의 증가·감소를 확인한 뒤 실근 개수를 분류했다. 계산 결과를 적은 뒤에는 그래프 교점 수와 매개변수 기준값을 대조해 중간 판단이 생략되지 않았는지 점검했다.
파이널 제한시간 안에서는 한 문제의 계산에 오래 머물지 않도록 도함수 영점, 부호 변화, 극값의 높이, 매개변수 범위를 네 단계로 표시했다. 동국대학교사범대학부속고등학교 고3수학과외의 재검증에서도 이 순서를 유지하자 숫자가 달라져도 계산 형태를 따라가는 대신 교점 개수와 실근 변화에 필요한 핵심 관계를 먼저 선택하는 풀이가 나타났다.