매개변수에 따른 접선 개수를 구간별로 보기
고3 학생은 한 접선의 방정식은 구할 수 있었지만 매개변수에 따라 접선 개수가 달라지는 문제에서는 가능한 접점을 하나씩 찾으려 했다.
기본 접선조건은 이해했으나 여러 접선 후보와 매개변수 범위를 동시에 관리하는 과정은 제한시간에서 흔들렸다.
접선식을 하나씩 만들다 누락한 경우
실전문제에서 학생은 특정 접점을 가정해 접선식을 반복해서 만들었다. 경계에서 두 접점이 합쳐지는 중근 조건을 놓쳐 가능한 접선 수를 하나 적게 계산했다.
접선을 개별 계산 대상으로만 보고 접점·기울기·중근 조건이 하나의 관계라는 점을 이용하지 않은 것이 최초 오류였다.
중근·기울기·접점 조건을 함께 사용하기
접선조건을 함수와 직선의 차가 중근을 갖는 상황으로 바꾸고, 판별식이나 도함수 조건으로 매개변수 기준값을 찾게 했다.
접점이 원래 곡선 위에 있는지 확인한다.
접선 기울기와 도함수 값을 연결한다. 중근이 생기는 경계값을 찾는다. 매개변수 구간별 접선 개수를 표로 정리한다.
기준값을 바꾼 실전문제에서 재적용하기
계수와 매개변수 조건을 바꾼 새 문제에서도 학생은 접선식을 무작정 나열하지 않았다. 기준값을 먼저 찾고 그래프와 특수값으로 접선 개수를 확인했다.
대광고등학교 고3수학과외 학습에서 중요한 변화는 접선 공식을 반복하는 것이 아니라 접촉 조건이 바뀌는 경계를 구조적으로 판단하는 데 있다.