고려대학교사범대학부속고등학교 고2수학과외에서 다룬 합성함수 변형 풀이
서술형 수학 문제에서 함수식 자체는 계산할 수 있지만, 입력값과 출력값이 실제 조건에서 무엇을 의미하는지 끝까지 유지하는 과정에서 오답이 발생했다. 특히 수열 변형문제처럼 항을 다른 함수의 입력으로 연결하는 문제에서는 계산 순서와 대응 관계를 함께 확인해야 했다.
계산은 맞았지만 대응값이 달라진 장면
문제에서 두 함수의 합성으로 다음 항을 구하도록 제시되었을 때, 학생은 식을 보고 바깥 함수를 먼저 계산한 뒤 안쪽 함수의 결과를 대입했다. 각 함수의 계산식은 맞았지만, 문제에서 요구한 것은 특정 항이 변환된 뒤의 출력값이었는데 중간값을 최종 답으로 적었다. 즉, 입력값에서 중간값을 거쳐 출력값으로 이동하는 흐름을 표시하지 않아 최종 대응 대상이 바뀐 것이다.
현재는 함수식을 대입해 계산하는 능력과 기본적인 합성함수 풀이가 가능하다. 다만 서술형처럼 좌표, 거리 조건, 수열의 항 의미가 동시에 주어지면 계산을 먼저 끝내려는 경향이 나타난다. 이때 입력과 출력의 의미를 문제 조건과 연결하는 속도가 일정하지 않아, 식은 맞지만 답이 가리키는 대상이 달라지는 오답이 생겼다.
입력·중간값·출력의 순서 고정하기
고려대학교사범대학부속고등학교고2수학과외에서는 먼저 문제의 입력값을 왼쪽에 쓰고, 함수 적용 뒤의 중간값과 최종 출력값을 화살표로 연결했다.
- 입력값 → 첫 번째 함수가 만든 중간값
- 중간값 → 두 번째 함수가 만든 최종 출력값
- 최종값이 문제에서 요구한 항, 좌표, 거리 중 무엇인지 확인
그 다음 식만 계산하지 않고 각 값 옆에 ‘입력’, ‘중간값’, ‘출력’의 역할을 표시했다. 합성함수의 순서를 바꾸어 계산했을 때 왜 같은 결과가 나오지 않는지도 두 식을 직접 비교하며 설명하게 했다. 함수의 결과를 다시 다른 함수의 입력으로 사용하는 과정에서는 밑, 진수, 결과의 역할을 임의로 바꾸지 않는지도 함께 점검했다.
조건을 바꾼 문제에 재적용
이후에는 함수식을 그대로 두지 않고 입력값과 수열의 항 번호를 바꾼 변형문제를 제시했다. 학생은 먼저 화살표로 대응 관계를 그린 뒤, 중간값을 계산하고 최종 출력값을 구했다. 좌표나 거리 조건이 추가된 경우에는 계산 결과가 해당 점이나 항의 의미에 맞는지 다시 확인했다.
반대 방향의 합성이나 역함수 형태가 제시된 문제에서는 바로 식을 변형하지 않고, 각 함수가 실제로 어떤 입력을 받아 어떤 값을 내놓는지부터 설명하도록 했다. 그 결과 새 문제에서는 중간 계산값을 답으로 서둘러 적지 않고 최종 출력까지 연결한 뒤 조건과 대조하는 풀이가 나타났다.
이러한 방식의 고려대학교사범대학부속고등학교 고2수학과외 학습에서는 공식 적용보다 함수 사이의 대응 관계를 먼저 확인하는 습관을 형성하는 데 초점을 둔다.